7Моменты

Большое значение в математической статистике имеют так называемые моменты распределения случайной переменной. В математическом ожидании большие значения случайной величины учитываются недостаточно. Дополнительной числовой характеристикой случайной величины, которая детальнее характеризует ее, являются моменты различных порядков. Не вдаваясь в подробное изложение теории моментов, приведем определение двух основных типов моментов.

Начальным моментом k-го порядка случайной переменной X называется математическое ожидание k-ой степени ее: μ_k = Е(Х^k). Центральным моментом k-го порядка случайной переменной X называется математическое ожидание k-ой степени отклонения X от ее математического ожидания: . Если X – непрерывная случайная переменная, плотность вероятности которой есть f(х), то моменты μ_k и η_k вычисляют по формулам:

(2.13)

В этих формулах (с, d), как и ранее, обозначает интервал, в границах которого случайная переменная X меняет свое значение. Принимается, что моменты μ_k и η_k случайной переменной существуют тогда и только тогда, когда интегралы в формулах (2.13) являются абсолютно сходящимися. Если X – дискретная переменная, то для вычисления μ_k и η_k необходимо заменить интегралы соответствующими рядами, причем моменты существуют тогда и только тогда, когда эти ряды абсолютно сходятся.

Следует отметить, что математическое ожидание и дисперсия суть частные случаи моментов. Математическое ожидание Е(Х) есть первый начальный момент μ₁, а дисперсия D²(X) есть второй центральный момент η₂. В статистическом анализе большое значение имеют также центральные моменты третьего и четвертого порядков. Третьи центральные моменты служат для оценки степени скошенности распределения (асимметрия). О центральных моментах четвертого порядка говорят, что они измеряют степень сглаженности (эксцесс) кривой плотности вероятности.

Вопросы для самоконтроля

1. Каким образом можно представить распределение дискретной случайной переменной?

2. Дайте определение случайной переменной.

3. Дайте определение дискретной и непрерывной случайной переменной.

4. При каких условиях случайная переменная называется непрерывной?

5. Дайте определение математического ожидания и дисперсии.

6. Чему равно значение математического ожидания при одинаковой вероятности величин случайной переменной?

7. Могут ли две случайные величины обладать одинаковым математическим ожиданием и различной дисперсией? Приведите практические примеры.

8. Какова размерность среднего квадратического отклонения?

9. Моментам какого порядка соответствуют математическое ожидание и дисперсия? Приведите формулы.

10. Моментам какого порядка соответствуют степени скошенности распределения и степени сглаженности кривой плотности вероятности.

3. Дискретные распределения

3.1 Биномиальное распределение и измерение вероятностей

3.2 Распределение редких событий (Пуассона)

8Биномиальное распределение и измерение вероятностей

В этой теме рассмотрим основные типы распределения дискретных случайных переменных. Предположим, что вероятность наступления некоторого случайного события А при единичном испытании равно р. Производится серия испытаний в каждом из которых случайное событие А может наступить с этой вероятностью р, причем следует отметить, что испытания независимы друг от друга.

Примеры исчисления вероятностей можно обобщить на основе следующей ниже иллюстрации.

Если подбрасываются одновременно 2 монеты (а, b), то существуют 4 возможных случая выпадения герба Т и цифры Н:

аb аb аb аb

ТТ ТН НТ НН

В первом исходе имеем 2 герба. Принимая это за 2 благоприятных исхода, получим вероятность каждого из них р, а сложного события (ТТ) . В данном случае, при р = 1/2; p² = 1/4.

Четвертый из возможных исходов НН представляет 2 неблагоприятных исхода с вероятностью q  q = q² = 1/4.

Каждый из двух других исходов является комбинацией одного благоприятного и одного неблагоприятного случаев.

Вероятность каждого из этих исходов равна p  q = 1/2  1/2 =1/4, а обоих вместе ТН и НТ равна их сумме, т. е. 2 р  q = 1/2.

Обобщенным выражением процесса получения вероятностей различных сочетаний независимых событий, когда вероятности их известны, являются последовательные члены разложения бинома.

Для рассматриваемого примера из двух событий имеем: (р +q)² = p² + 2pq + q². , При p = 1/2 получим (1/2 + 1/2)² = 1/4+1/2+1/4.

Если 3 монеты а, b, с подбрасываются одновременно, получим 8 возможных комбинаций:

abс abc abc abc abc abc abc abc

ТТТ ТТН ТНН ТНТ НТТ НТН ННТ ННН

Вероятность выпадения 3 гербов составит 1/8, 2 гербов (в сочетании с одним случаем цифры) равна 3/8, одного герба и 2 цифр – 3/8, ни одного герба – 1/8. При 3 независимых событиях степень бинома равна 3.

Вероятности отдельных возможных исходов даются последовательными членами разложения:

(р + q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² + q³.

При p = q = 1/2 имеем (1/2 + 1/2)³ = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8, т. e. то же, что и непосредственным подсчетом.

Если число независимых случайных событий n, то вероятность n, n–1, n–2 и т. д. благоприятных исходов равна последовательным членам разложения:

(р + q)ⁿ

Если желаем получить вероятные численности разных исходов при данном числе испытаний n, применяем выражение:

N  (p+q)ⁿ

Например, при числе испытаний N = 200 и двух независимых событиях n в каждом испытании вероятные численности будут равны 200(p+q)² = 200(р²+2рq+q²). Если p = q = 1/2, имеем последовательные вероятные численности: 50 + 100 + 50.

При подбрасывании монеты 200 раз (N = 200) выпадения герба следует ожидать в 50 случаях, герба или цифры – в 100 случаях и цифры – 50 случаях.

При тех же р и N, но n = 3 получим последовательные вероятные численности: 25 + 75 + 75 + 25, которые означают 3, 2, 1 наступление события и ненаступление его, причем сумма всех численностей равна N.

При 200 бросаниях трех монет ожидаем в 25 случаях выпадения 3 гербов (ТТТ), в 75 случаях выпадения 2 гербов и одной цифры (ТТН), в 75 случаях выпадения 2 цифр и одного герба (ННТ) и в 25 случаях – 3 цифр.

Итак, когда вероятности независимых событий известны априори, то можно определить вероятные численности любого данного числа n, n–1, n–2.... наступления события и ненаступления его. При этом неважно, равны или не равны р и q, лишь бы они оставались при испытаниях постоянными. Этот факт имеет большое значение в теории статистики.

При изучении природных явлений выделение элементарных событий и вообще расчленения причинного процесса, в результате которого происходят случайные события, обычно невозможно. Классический подход к определению вероятности здесь бессилен. Проблему определения вероятностей таких событий решают на основе статистического подхода.

Однако классический подход к определению вероятностей событий лежит в основе теории анализа случайных событий и теоретических (модельных) распределений исходов испытаний. В свою очередь теория математического анализа случайных событий и модели распределений исходов испытаний являются базой статистических методов, в частности, базой статистических заключений.

Альтернативные, дискретно варьирующие признаки, как было показано выше, распределяются так, что вероятные численности их появления могут быть найдены по формуле бинома Ньютона:

(3.1)

где n – число независимых исходов в одном испытании; р – вероятность благоприятного исхода одного случая; q – вероятность неблагоприятного исхода; N – общее число испытаний (исходов).

При n = 6 возможны 2⁶ = 64 исходов. При равной вероятности альтернатив, т. е. при условии р = q = 0,5, получим следующий ряд вероятных численностей:

64(0,5 + 0,5)⁶ = 64 [1/64 + 6/64 + 15/64 + 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64] = 1+6+15 + 20 + 15 + 6+1

Откладывая значения числа наступления благоприятных исходов m по оси абсцисс, а значения вероятных численностей – по оси ординат, получим многоугольник численностей распределения (рисунок 3.1). Ломаная линия, соединяющая точки на графике, называется кривой распределения.

Найденные по формуле бинома численности или биномиальные коэффициенты (при p = q = 0,5) можно получить также при помощи треугольника Паскаля (таблица 3.1). Числовые значения коэффициентов построены так, что любой из них получается суммированием двух стоящих над ним строкой выше значений, справа и слева.

Значения коэффициентов, начиная с единицы, закономерно возрастают до определенного уровня, а затем в той же последовательности уменьшаются. Кривые, изображающие биномиальные распределения с р = q = 0,5, симметричны. При любой степени бинома п число коэффициентов равно n+1, например при n = 1 оно равно 2 и т. д. Сумма биномиальных коэффициентов равна 2ⁿ, как в нашем примере, n = 6; N = 2⁶ = 64.

Если р и q не равны, распределение будет асимметрично, причем тем в большей степени, чем меньше n. При большом n, например 30 и более, оно симметрично и малоступенчато. Характер распределения остается тем же, независимо от того, выражено оно в значениях вероятности или в значениях частоты m ожидаемого события.

Рисунок 3. 1 – Кривая распределения

Таблица 3.1 – Треугольник Паскаля

n	Биномиальные коэффициенты											N=2^n
0	1											1
1	1	1										2
2	1	2	1									4
3	1	3	3	1								8
4	1	4	6	4	1							16
5	1	5	10	10	5	1						32
6	1	6	15	20	15	6	1					64
7	1	7	21	35	35	21	7	1				128
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1			256
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1		512
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1	1024

Для вычисления вероятностей у события (появиться m раз в n независимых испытаний) наряду с формулой бинома применяют также формулу Якоба Бернулли:

(3.2)

Здесь – число сочетаний из n элементов по m, или биномиальный коэффициент;

р – вероятность ожидаемого события (благоприятного исхода);

q = 1 – р – вероятность противоположного события; m – частота появления ожидаемого события; n –число испытаний; n! и m! –факториалы, т. е.: 123...n и 123...m.

Совокупность вероятностей при m = 1, 2, 3, ...n называется биномиальным распределением вероятностей.

Так, для предыдущего примера, при p = q = 0,5, n = 6 и m = 0, 1, 2, ..., 6 вероятности будут:

m = 0

m = 1

m = 2

при m = 3, 4, 5, 6 вероятности соответственно будут равны:

20/64; 15/64; 6/64; 6/64 т. е. такие, какие получены по формуле бинома.

Биномиальное распределение определяется двумя параметрами: средней величиной μ = np и дисперсией или квадратическим отклонением .

Для рассматриваемого примера имеем среднюю частоту ожидаемого случайного события  = nр = 6 – 0,5 = 3 и дисперсию ² = npq = 6  0,5  0,5 = 1,5.