Тема 13
Диференціал функції, його геометричний зміст. Властивості. Застосування диференціала в наближених обчисленнях
Мета заняття Засвоєння поняття диференціалу функції в точці; формування уміння знаходити диференціали та застосовувати їх при наближених обчисленнях.
Виховувати розумову культуру, культуру усного і писемного мовлення; розвивати логічне мислення.
Студенти повинні знати: поняття диференціалу функції, його геометричний зміст, властивості.
Студенти повинні вміти: знаходити диференціал функції, застосовувати його в наближених обчисленнях.
Основні питання теми
Ми знаємо, що процес знаходження похідних називається диференціюванням. Але в математичному аналізі є поняття диференціала функції в точці як самостійне. Що це таке і для чого, ви повинні вивчити в цій темі
1.Поняття диференціала функції в точці; позначення;
2.Властивості диференціала;
3.Геометричний зміст диференціала;
4.Застосування диференціала в наближених обчисленнях;
5.Приклади
Завдання для самоперевірки
Закінчте вирази:
1.
Похідною функції
у точці х
називається
2. Дотичною до графіка функції у точці М називається …
3. Геометричний зміст похідної функції полягає в тому, що …
4. Фізичний зміст похідної функції полягає в тому, що …
5. Економічний зміст похідної функції полягає в тому, що …
6. Функція називається диференційовною в точці х, якщо …
7. Вказати правильне твердження:
а)
якщо функція
неперервна в точці х,
то вона диференційовна в ній;
б) якщо функція диференційовна в точці х, то вона неперервна в цій точці.
8. Диференціалом функції називається …
9. Геометричний зміст диференціала полягає в тому, що …
10.
Якщо існують похідні функцій
і
,
то:
а)
… (довести);
б)
… (довести);
в)
… (довести).
11. Сформулювати і довести теорему про похідну складної функції.
12. Сформулювати і довести теорему про похідну оберненої функції.
13. Еластичністю функції називається …
14.
Якщо існують еластичності
та
функцій
і
,
то:
а)
… (довести);
б)
… (довести).
15. Попит називається еластичним, якщо …
16. Попит називається нееластичним, якщо …
17.
Знайти відношення
для функцій:
1)
при
2)
при
3)
при
.
18.
Використовуючи означення похідної як
,
знайти похідні функцій:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
5)
; 6)
;
7)
; 8)
.
19. Нехай витрати виробництва є функцією кількості випущеної продукції: . Знайти середні і граничні витрати виробництва за обсягу випущеної продукції, що дорівнює 10 грошовим одиницям.
20. Обсяг виготовленої продукції у (ум. од.) цеху протягом робочого дня виражається такою функцією , де t — кількість годин роботи. Знайти обсяг випуску продукції через 2 години після початку робочого дня.
21. У якій точці дотична до параболи : 1) паралельна осі ОХ; 2) утворює кут 45 з віссю ОХ?
22.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і Δх; б)при х = π/8; в) при х = π/8 і Δх = 0,1.
23.Обчислити наближено arсtg 1,05.
24.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і Δх; б)при х = π/8; в) при х = π/8 і Δх = 0,1.
25.Обчислити наближено arсtg 1,05.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
гл.5, стор. 218 – 222.
Лекція „диференціал”
Нехай
функція у
= f(x)
диференційовна в інтервалі
.
З означення диференційовності маємо:
Звідси можна записати:
(1)
де
функція
при
задовольняє умову
Із (1) для приросту функції дістаємо:
Покладемо,
що
.
Означення. Величина f(x)х називається диференціалом функції f(x) за приростом х.
Позначення:
Геометрична інтерпретація:
Диференціал
є лінійним
наближенням (апроксимацією) до приросту
функції:
.
Наскільки менше
,
настільки краще наближення (апроксимація)
(рис. 1).
Рис. 1
Н
ехай
.
Знайдемо диференціал df(x)
і приріст f(x)
для
і
і порівняємо їх.
Рис. 2
1)
;
(рис.
2).
2)
.
.