Тема 9
Гіпербола. Парабола. Властивості
Мета заняття Вивчити означення, виведення канонічного рівняння та властивості кривих: гіпербола та парабола.
Розвивати логічне мислення.
Студенти повинні знати: означення гіперболи, її рівняння, властивості; означення параболи, її рівняння, властивості.
Студенти повинні вміти: розв'язувати задачі, складати різні рівняня гіперболи; розв'язувати задачі, складати різні рівняння параболи; будувати ці криві в системі координат залежно від їх рівняння.
Основні питання теми
1.Означення гіперболи;
2.Розташування в системі координат;
3.Виведення канонічного рівняння;
4.Властивості: осі, вершини, фокуси, асимптоти, ексцентриситет, загальне рівняння, спряжені гіперболи, рівнобічна гіпербола;
5.Означення параболи;
6.Виведення канонічного рівняння параболи;
7.Властивості: вершина, фокус, директриса, вісь симетрії;
8.Розташування параболи в системі координат залежно від її рівняння;
2.5. Криві другого порядку
До кривих другого порядку належать: коло, еліпс, гіпербола, парабола. У загальному випадку їм відповідає рівняння:
.
Шляхом перетворення системи координат із загального рівняння можна одержати канонічні рівняння кривих другого порядку:
кола:
,
де
— координати центра кола,
а
— радіус кола;
еліпса:
,
де
— півосі еліпса;
гіперболи:
,
де а
— дійсна, b
— уявна півосі гіперболи;
параболи:
,
де р
— параметр параболи.
Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Множина точок площини, для кожної з яких відстань до заданої точки є величиною сталою, називається ...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом г)параболою
2.Множина точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок є величиною сталою, називається...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом в)параболою
3.Множина точок площини, для кожної з яких модуль різниці до двох заданих точок є величиною сталою, називається...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом г)параболою
4.Множина точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки дорівнює відстані до даної прямої, називається...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом г)параболою
5.Якщо піввісі у гіперболи рівні між собою, то вона називається...
а)дійсною б)уявною
в)рівносторонньою г)квадратною
6.Відношення с/а для кривих другого порядку називається...
а)директрисою б)ексцентриситетом
в)фокусною відстанню г)довжиною дійсної осі
7.Пряма, відстань до якої від будь-якої точки параболи дорівнює відстані до фокуса, називається...
а)дотичною до параболи б)директрисою параболи
в)нормаллю до параболи г)січною параболи
8.Прямі, що задаються рівняннями у = -(b/a)x та у = +(b/a)х називаються...
а)директрисами гіперболи б)директрисами параболи
в)асимптотами гіперболи г)асимптотами еліпса
9.Вісь, яку перетинає гіпербола називається...
а)дійсною б)уявною
в)вертуальною г)прямою
10.Якщо у еліпса а < b, то його фокуси належать...
а)осі ОХ б)осі ОУ
в)великій осі еліпса г)малій осі еліпса
Завдання для самоперевірки
1.Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ОХ симетрично початку координат, якщо дійсна вісь дорівнює 6, а ексцентриситет ε = 5/3.
2.Знайти відстань фокуса гіперболи х2 – 8у2 = 8 від її асимптоти.
3.Встановити, що рівняння 16х2 – 9у2 – 64х – 54у – 161 = 0 визначає гіперболу. Знайти її центр і півосі.
4.Дослідити взаємне розміщення параболи у2 = х і прямої х + у – 2 = 0.
5.Знайти довжину хорди еліпса 4х2 + 9у2 = 36, яка проходить через його фокус перпендикулярно до великої осі.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 104 – 110.
Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Скалярні й векторні величини.
2.Застосування кривих другого порядку.
3.Симетрія в природі.
Лекція „ Парабола”
Означення: Канонічним рівнянням параболи називається рівняння виду
(1)
Ця крива розміщена симетрично відносно осі х, оскільки заміна у на –у в її рівнянні не змінює його. Точка О перетину осі симетрії з параболою називається вершиною параболи (рис. 1).
Рис. 1
Ексцентристет
параболи дорівнює одиниці, а тому
.
Важливою є так звана оптична
властивість
параболи, яка полягає в тому, що всі
промені, паралельні осі х,
після відбиття параболи потрапляють у
її фокус F
(рис. 2).
Рис. 2
Візьмемо
довільну точку М(х,
у)
на параболі
і проведемо дотичну в точці М.
Кутовий коефіцієнт дотичної визначається
так:
.
Доведемо, що кут падіння променя на дотичну дорівнює куту його відбиття . Достатньо довести, що
тобто
або
.
Згідно з рис. 2 маємо:
Це
й доводить оптичну властивість параболи.
З найдемо координати фокуса параболи
Беручи
дістанемо рівняння параболи виду (1)
Оскільки
,
то фокус F
має координати
.
Отже, знаходимо координати фокуса
Гіпербола
Означення. Канонічним рівнянням гіперболи називаються рівняння
(1)
Ця крива розміщена симетрично відносно осей х та у. Початок координат є центром симетрії гіперболи. З рівняння
випливає,
що
.
1. Гіпербола утворена двома вітками, які містяться в області
.
Справді, з рівняння (1) маємо:
.
Область, в якій розміщені вітки гіперболи, обмежені прямими |
(2) |
|
|
які називаються асимптотами гіперболи. |
,З рівняння
бачимо,
що узростає
зі зростанням х
при
(рис. 3).
Рис. 3
2. Розглянемо вітку гіперболи, яка визначається рівнянням
,
і
доведемо, що при
ця вітка наближається до асимптоти з
рівнянням
.
Справді, маємо такі співвідношення:
.
Багато властивостей гіперболи аналогічні властивостям еліпса.
Означення. Пряма, що проходить через центр симетрії гіперболи, називається її діаметром. Центри всіх хорд гіперболи, що мають рівняння
,
лежать
на діаметрі гіперболи, який подається
рівнянням
.
Діаметри гіперболи
(3)
називаються спряженими. Хорди гіперболи, паралельні одному й тому самому діаметру, поділяються спряженим діаметром пополам. Якщо дотична до гіперболи паралельна деякому діаметру, то спряжений діаметр проходить через точку дотику.
Рівняння дотичної до гіперболи в точці М0(х0, у0) подається у вигляді
. (4)
3. Знайдемо ексцентриситет гіперболи, скориставшись рівнянням (1). Для цього візьмемо
.
Остаточно
при
маємо:
,
або
(5)
З найдемо ексцентриситет гіперболи
.
Маємо:
.
4. Доведемо фокальну властивість гіперболи, яка може використовуватися для означення гіперболи.
Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала.
Відстань між фокусами дорівнює 2с. Проведемо вісь х через фокуси і припустимо, що вісь у поділяє відрізок між фокусами пополам (рис. 4).
Рис. 4
Візьмемо
або
. (6)
Тут знак «+» для правої вітки гіперболи, а знак «–» — для лівої.
Перетворимо це рівняння гіперболи, позбавившись від ірраціональності:
Отже,
(7)
Звідси:
Остаточно:
Роблячи
заміну
,
дістаємо відоме канонічне рівняння
гіперболи.
Рівняння (7) можна подати у вигляді
(8)
Знак «+» відповідає правій вітці гіперболи, знак «–» — лівій.
5.
Доведемо, що прямі
є директрисами гіперболи (рис. 5).
Рис. 5
Для довільної точки на правій вітці гіперболи М(х, у) маємо:
.
Обчислюємо відношення фокальних радіусів до відстаней директрис:
.
Ці відношення сталі і дорівнюють ексцентриситету. Це й доводить, що прямі є директрисами.
Д
ано
рівняння директрис гіперболи
,
відстані між фокусами якої дорівнюють
10. Записати канонічне рівняння гіперболи.
З
рівностей
знаходимо
,
а далі записуємо рівняння
.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 104 – 110.
Розділ „Вступ до математичного аналізу”