1 . Обчислення площі фігури у прямокутних координатах

1. Якщо на відрізку [a, b] функція f(x)  0, то площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = f(x), віссю Ох і прямими х = а і х = b, подається так:

(1)

2 . Якщо потрібно обчислити площу фігури, обмеженої кривими у = f₁(x), у = f₂(x) (f₁(x)  f₂(x)) ординатами х = а і х = b, то

(2)

Рис. 2

О бчислити площу фігури, обмеженої кривими і

^● Знаходимо точки перетину кривих:

отже,

Рис. 3

Звідси за формулою (2)

.

3. Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі

і , , (3)

то площа криволінійної фігури обчислюється за формулою

(4)

^● Cправді, нехай рівняння (3) визначають деяку функцію у = f(x) на відрізку [a, b]. Тоді площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою:

а бо

Рис. 4

О бчислити площу фігури, обмеженої віссю х і однією аркою циклоїди х = 5(t – sint), y = 5(1 – сost).

^● За формулою (4) маємо:

 75  .

2 . Довжина дуги кривої

1. Довжина дуги кривої у прямокутних координатах. Нехай у прямокутних координатах на площині задано криву рівнянням у = f(x), де f(x) і f(x) — неперервні на відрізку [a, b] функції.

Знайдемо довжину дуги АВ цієї кривої, що міститься між вертикальними прямими х = a i x = b (рис. 5).

Рис. 5

Нагадаємо означення довжини дуги кривої.

Візьмемо на дузі АВ точки А, А₁, А₂, …, В з абсцисами а = x₀, x₁, x₂, …, x_n = b і проведемо хорди АА₁, А₁А₂, …, А_n–1B, довжини яких позначимо відповідно l₁, l₂, …l_n. Тоді дістанемо ламану АА₁А₂ … А_n–1B, вписану в другу АВ. Довжина ламаної дорівнює .

Означення. Довжиною l дуги АВ називається границя, до якої прямує довжина вписаної в цю дугу ламаної, коли довжина її найбільшої ланки прямує до нуля:

(5)

Довжина дуги кривої обчислюється за формулою:

(6)

О бчислити довжину півкубічної параболи , .

^● За формулою (6) маємо:

Застосування визначеного інтеграла в економіці

1. Загальні витрати споживачів на товар. Розглянемо криву попиту Р = f(Q) на деякий товар (рис. 6). Якщо Р — ціна одиниці товару, то загальна сума витрат на придбання товару Q буде Р  Q.

Рис. 6

На рис. 6 позначено: Р₀ — ціна рівноваги; Q₀ — кількість товару, який продається за ціною Р₀. Припустимо, що товар у кількості Q₀ не відразу весь надходить на ринок, а продається партіями Q. Мета продавця: утримувати ціну на товар, вищою за рівноважну.

Після надходження першої партії товару його кількість на ринку буде

Q₁ = Q.

Ціна, що відповідає такій кількості товару, становить Р₁ = f(Q₁). Витрати споживача — Р₁Q.

Після надходження другої партії товару його кількість на ринку буде

Q₂ = Q₁ + Q = 2Q.

Відповідна ціна — Р₂ = f(Q₂). Витрати — Р₂Q.

Після надходження n-ї партії кількість товару — Q_n = Q₀ = nQ. Відповідна ціна — Р_n = f(Q_n) = Р₁ = f(Q₀) = Р₀. Витрати Р_nQ. Загальні витрати споживачів на всю кількість товару Q₀ становитимуть

Р₁Q + Р₂Q + … + Р_nQ = f₁(Q₁)Q + … f(Q_n)Q.

Графічна інтерпретація

Як бачимо з рис. 7, загальні витрати споживачів дорівнюють сумі площ прямокутників, а вона, у свою чергу, наближено дорівнює визначеному інтегралу

f(Q₁)Q + f(Q₂)Q + … + f(Q_n)Q .

Наближена рівність стає точною, якщо n як завгодно велике.

Отже, сумарні витрати S_вит можна обчислювати за формулою:

(7)

Означення. Надлишок споживача S_надл — це різниця між можливими витратами споживача і реальними витратами в умовах ринку:

Геометрична інтерпретація

2. Додаткова вартість. Розглянемо криву пропозиції Р = f(Q) (рис. 9).

Рис. 9

Виробники іноді мають можливість поставляти товар на ринок за ви­щою ціною, ніж та, на яку вони були згодні попередньо. Припускаючи, що весь товар Q₀ буде реалізовано за ціною Р₀, можна знайти дохід

R = Р₀Q₀.

Нехай водночас кількість товару, меншу за Q₀, виробники поставляють за ціною, нижчою, ніж Р₀. Тоді додаткова вартість виробника S_{дод.варт} обчислюються за формулою: