Теорема 5. (Теорема Рімана.) Якщо ряд збігається умовно і s — будь-яке наперед задане число, то завжди можна переставити члени ряду так, щоб сума отриманого ряду дорівнювала s.

Дамо пояснення до теореми Рімана. Умовна збіжність ряду виконується завдяки тому, що додатні і від’ємні члени взаємно знищуються. Якщо скласти ряд лише із додатних членів і ряд лише із від’ємних членів, то ці ряди розбігаються. Отже, можна почергово обирати лише додатні або від’ємні числа так, щоб значення частинних сум було як можна ближче до значення s. При цьому сума ряду дорівнюватиме s.

Р озглянемо ряд Лейбніца

Переставимо члени ряду так, щоб після додатного члена стояли два від’ємні.

При цьому дістанемо ряд

За такого переставлення членів ряду сума ряду зменшилась удвічі.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 9, стор. 505 – 509.

Тема 24

Дослідження рядів на збіжність

Мета заняття Набуття вмінь та навичок визначати збіжність рядів.

Розвивати логічне мислення, вміння орієнтуватися при виборі ознак збіжності рядів.

Студенти повинні знати::поняття числових рядів,гармонічного ряду, властивості числових рядів; поняття знакододатного ряду, достатні ознаки збіжності; поняття знакозмінного ряду, його властивості, ознаку Лейбніца.

Студенти повинні вміти: виконувати найпростіші дослідження числових рядів; досліджувати ряди на збіжність; користуватися різними ознаками при дослідженні рядів на збіжність.

План самостійного розв’язування задач

Для вивчення цієї теми студенти отримують індивідуальні завдання, в яких треба дослідити ряди на збіжність, використовуючи відповідну ознаку.

Для цього треба:

1.Повторити поняття числового та степеневого рядів;

2.Знати,що таке сума ряда і як за означенням її знайти;

3.Повторити ознаки збіжності рядів:

- ознаку порівняння

- ознаку Даламбера

- ознаку Коші

- Ознаку Лейбніца

4.Знайти суму ряду

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12 . 13. .

14. . 15.

16.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор.505 – 509.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.

Теми рефератів:

1.Ряди Фур'є і їх застосування.

2.Ряд Лейбніца.

Література

1.Дубовик В.П. Вища математика. – Київ: АСК,2001

2.Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. – Т.1.

Вища математика. – Київ: Нац. акад. упр., 1997

3.Бугір М. Математика для економістів. – Київ: Академія,1988

4.Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. – Київ: Вища школа,1997

5.Кринський Х.Е. Математика для економістів. – М.: Вища школа,1970

6.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:

Высш. шк., 1980

7.Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика. – Київ:Вища шк., 1991

ЗМІСТ

Анотація

Вступ

Будова математичної теорії. Ключові поняття

Перелік тем, винесених на самостійне вивчення

Тема 1. „Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників.

Розклад визначника за елементами рядків та стовпців”

Тема 2.”Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера”

Тема 3.”Ранг матриці. Умови сумісності та визначеності СЛР”

Тема4.”Вектори і лінійні дії над нами. Розклад вектора за базисом.

Координати вектора, дії за координатами. Обчислення скалярного

добутку та косинуса кута між двома векторами”

Тема 5.”Різні види рівнянь прямої на площині”

Тема 6.”Кут між двома прямими. Умови || і ┴ двох прямих. Відстань від

точки до прямої”

Тема 7.”Кут між двома площинами. Умови || і ┴ двох площин. Відстань

від точки до площини”

Тема 8.”Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у

просторі. Умови || і ┴ двох прямих у просторі. Кут між прямою і

площиною.Умови || і ┴ прямої і площини”

Тема 9.”Гіпербола. Парабола. Властивості”

Тема 10.”Числова послідовність. Границя числової послідовності”

Теореми про границі числової послідовності. Нескінчено малі та

нескінчено великі послідовності”

Тема 11.”Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву

функції”

Тема 12.”Задачі, що приводять до поняття похідної.Означення похідної.

Фізичний та геометричний зміст похідної. Таблиця похідних. Похідна

складеної та оберненої функцій”

Тема 13.”Диференціал функції та його геометричний зміст. Властивості

диференціала. Застосування диференціала в наближених обчисленнях”

Тема 14.”Формула Тейлора”

Тема 15.”Застосування диференціального числення до дослідження фун-

кцій”

Тема 16.”Функція багатьох змінних. Означення та символіка. Границя

функції. Графік функції”

Тема 17.”Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за

напрямом. Градієнт”

Тема 18.”Локальні екстремуми функції багатьох змінних”

Тема 19.”Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця

основних інтегралів”

Тема 20.”Означення і умови існування визначеного інтеграла. Властивості.

Формула Ньютона – Лейбніца”

Тема 21.”Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур,

об'ємів тіл обертання та фізичних задач”

Тема 22.”Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь.

Постановка задачі Коші. Загальний та частинний розв'язки

диференціального рівняння”

Тема 23.”Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна

збіжність рядів”

Тема 24.”Дослідження рядів на збіжність”

Література

Зміст

* Літерою е його вперше позначив Л. Ейлер.