Тема 18
Локальні екстремуми функції багатьох змінних.
Мета заняття Засвоєння поняття локальних екстремумів функції двох змінних.
Розвивати логічне мислення, уважність
Студенти повинні знати: формули похідної складеної функції, повної похідної, локальних екстремумів.
Студенти повинні вміти: обчислювати похідну складеної функції,повну похідну, локальні екстремуми функцій багатьох змінних.
Основні питання теми
1.Поняття точки локального максимуму;
2.Поняття точки локального мінімуму;
3.Необхідні умови екстремуму;
4.Критичні точки функції;
5.Достатні умови екстремуму;
6.Другі достатні умови екстремуму;
7.Правила дослідження диференційованих функцій на екстремум;
8.Приклади.
Завдання для самоперевірки
1.Відкритий прямокутний басейн повинен мати об'єм V. Знайти розміри басейну, за яких на його облицювання піде найменша кількість матеріалу.
2.Знайти екстремуми функції z = х4 + у4 – 2х2 + 4ху – 2у2.
3.Закінчте вирази:
-
Точка
називається точкою максимуму (мінімуму)
функції
,
якщо …
- Точка називається стаціонарною для функції , якщо: …
- Необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних полягають у тому, що …
- Формула Тейлора для функції двох змінних має вигляд: …
- Критерій Сільвестра додатної визначеності квадратичної форми має вигляд: …
- Достатні умови існування екстремуму функції багатьох змінних формулюються так: …
- Поняття умовного екстремуму функції багатьох змінних полягає у тому, що …
-
Задача про умовний екстремум функції
багатьох змінних
при
зводиться до задачі про звичайний
екстремум функції …
4. Вкажіть правильний розв’язок задачі.
Для
знаходження найбільшого значення
функції
у замкненій області
з рівнянням межі
потрібно вибрати найбільше значення
із обчислених у таких точках:
а) в стаціонарних точках області ;
б) у точках умовного екстремуму функції за умови ;
в) у стаціонарних точках і точках умовного екстремуму функції при ;
г) у стаціонарних точках і точках на межі області .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.6, стор. 320 – 324.
Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Застосування частинних похідних.
2.Зображення та застосування функцій багатьох змінних.
Розділ”Інтегральне числення функції однієї змінної”
Тема 19
Поняття первісної функції та невизначеного інтегралу. Таблиця основних інтегралів
Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання з теми.
Розвивати уважність, вміння самостійно визначати головну думку, логічне мислення.
Студенти повинні знати: поняття первісної функції та невизначеного інтегралу, властивості невизначеного інтегралу;основні табличні інтеграли.
Студенти повинні вміти: знаходити первісні функції та невизначені інтеграли; використовувати властивості для знаходження первісних та інтегралів.
Основні питання теми
1.Поняття первісної; властивості первісної;
2.Невизначений інтеграл; позначення, властивості;
3.Застосування інваріантності форми першого диференціалу при інтегруванні;
4.Таблиця основних інтегралів;
5.Приклади.
Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо функція F(х) диференційовна на (а;b) і її похідна дорівнює f(х),то вона називається..........
а)оберненою до f(х) б)складеною на (а;b)
в)первісною для f(х) г)розривною на (а;b)
2.Якщо функція f(х) має первісну F(х), то вона має........
а)множину первісних F(х) + С б)обернену функцію F(х) + С
в)складену функцію F(х) + С г)розривну функцію f(х) + С
3.Множина усіх первісних функції f(х) називається.........
а)визначеним інтегралом функції f(х)
б)невизначеним інтегралом функції f(х)
в)криволінійним інтегралом функції f(х)
г)невласним інтегралом функції f(х)
4.Сталий множник можна виностит за знак.......
а)похідної
б)первісної
в)інтеграла
г)функції
Завдання для самоперевірки
1.Сформулювати теорему про існування первісної.
2.У чому суть інваріантності формули інтегрування? Навести приклади.
3.Закінчте вирази:
- Первісною називається …
- Операції знаходження для функції похідної і первісної співвідносяться між собою як …
- Теорема про множину первісних функції формулюється так: …
- Задача інтегрування функції на деякому проміжку полягає в тому, щоб - Теоретичною основою розв’язання задачі інтегрування функції є теорема про …
- Невизначеним інтегралом називається …
4. Які
з наведених нижче функцій будуть
первісними для функції
?
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
(Зазначте правильну відповідь.)
5. Які
з наведених функцій будуть первісними
для функції
?
а)
; б)
;
в)
.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.7, стор. 330 – 336.
Лекція „Поняття невизначеного інтеграла”
Означення. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx — диференціал функції F (x):
Тоді функція F (x) називається первісною для функції f (x).
Якщо F (x) — одна з первісних функції f (x), то будь-яка інша її первісна подається виразом F (x) + С, де С — довільна стала.
Отже, якщо функція f (x) має принаймні одну первісну, то їх існує безліч.
Означення. Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом.
Невизначений інтеграл виразу f (x)dx позначають
(1)
Термін «інтеграл» походить від латинського слова integralis — цілісний.
Символ
— початкова літера слова summa (сума).
Слово «невизначений» підкреслює, що до загального виразу первісної входить сталий доданок, який можна взяти довільно.
Вираз
називають підінтегральним
виразом,
функцію f (x)
— підінтегральною
функцією,
змінну x
— змінною
інтегрування.
Постають такі запитання: 1) чи завжди можна знайти невизначений інтеграл; 2) як можна знайти цей інтеграл, якщо він існує?
Відповідь на перше запитання частково дає наведена далі теорема, яка є основною теоремою інтегрального числення.
Теорема 1. Усяка неперервна функція має первісну.
Проте ця теорема не стверджує, що первісну даної непе- рервної функції можна знайти за допомогою скінченної кількості відомих дій і подати результат в елементарних функ- ціях. Більш того, існують неперервні елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Такі функції називають неінтегровними. Їх інтеграли не можуть бу- ти знайдені за допомогою скінченної кількості елементарних функцій.
Наприклад,
можна довести, що інтеграли
не
подаються елементарними функціями,
тобто відповідні підінтегральні функції
є неінтегровними.
Зауважимо, що за правилами диференціального числення для будь-якої елементарної функції можна знайти її похідну (також елементарну). В інтегральному численні такі правила для відшукання первісної принципово неможливі.
Первісні
для неінтегровних функцій, таких як
і т. ін., знаходять наближеними (чисельними)
методами.
Загалом знаходження невизначених інтегралів — задача, істотно складніша порівняно з диференціюванням. Її розв’язування спрощується завдяки застосуванню математичних довідників і комп’ютерних пакетів програм, наприклад Mathсad, Mathematica 3.0 тощо.
Основні властивості невизначеного інтеграла
Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:
● Продиференціювавши рівність (1) дістанемо:
Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:
(2)
● Рівність
(2) випливає з (1), якщо взяти
Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
(3)
● Справді, згідно з властивістю 1 диференціал лівої частини
(4)
подається так само, як і диференціал правої частини:
(5)
Якщо диференціали (4) і (5) обох частин рівності (3) однакові, то ці частини відрізняються лише сталою, яка вважається включеною в позначення невизначеного інтеграла.
Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків:
Формула доводиться безпосередньою перевіркою диференціюванням. Справді, диференціал лівої частини подається так:
Найпростіші інтеграли. Таблиця основних інтегралів
За формулами, якими подаються диференціали функцій, легко дістати відповідні формули інтегрування.
1
.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Таблиця основних інтегралів
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.7, стор. 330 – 336.