Тема 2 :

Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Мета теми: навчитися розв'язувати системи лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера

Студент повинен знати: означення визначника третього та n порядків, властивості; теорему про розкладання визначника. Формули Крамера для систем 2-х,3-х лінійних рівнянь з 2-ма,3-ма змінними; кількість розв'язків системи залежно від значень визначників системи.

Студент повинен вміти:обчислювати визначники другого, третього та четвертого порядків; застосовувати теорему про розкладання визначника за елементами рядків та стовпчиків для обчислювання визначників. Застосовувати формули Крамера для розв'язування систем лінійних рівнянь

Основні питання теми:

1.Означення визначника 2, 3 та n порядку.

2.Загальний вигляд визначника n порядку.

3.Властивості визначників.

4.Формули Крамера для систем двох лінійних рівнянь.

5.Формули Крамера для систем трьох лінійних рівнянь.

6.Умови існування розв'язків системи.

7.Приклади розв'язання систем.

Свої набуті знання ви можете перевірити за наступними питаннями

1.Який вигляд має система 2-х, 3-х лінійних рівнянь з двома, трьома змінними?

2.Що таке головний визначник системи?

3.Який вигляд мають формули Крамера?

4.Коли система має єдиний розв'язок?

5.Коли система має безліч розв'язків?

6.Коли система не має розв'язків?

7.Чи можна застосовувати формули Крамера для будь-якої системи лінійних рівнянь?

Завдання для самоперевірки

Розв’язати за формулами Крамера системи рівнянь

Відповідь. . Відповідь. .

Відповідь. . Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. .

Відповідь. . Відповідь. .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор.21 – 23.

Лекція” Формули Крамера”

Спинимося на застосуванні теорії визначників до розв’язуван­ня системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

(1)

Означення. Визначник, елементами якого є коефіцієнти при невідомих у системі (1)

, (2)

називається визначником цієї системи.

Теорема. Якщо визначник D системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1) відмінний від нуля, то ця система має єдиний розв’язок:

(3)

Тут D_k — визначник, утворений з визначника D системи (1) заміною k-го стовпця на стовпець із правих її частин.

Доведення. Помноживши k-те рівняння системи (1) на алгебраїчне доповнення A_ks елемента а_ks і додавши всі рівняння, дістанемо:

Згідно з властивостями 9 і 10 визначників маємо рівняння

з якого при випливають формули (3).

Отже, якщо система рівнянь (1) має розв’язок, то він подається у вигляді (3).

Доведемо, що ці формули справді визначають розв’язок системи рівнянь (1), підставивши туди розв’язки (3). Для k-го рівняння маємо:

з якого випливає справедливість теореми. 

Р озв’яжемо за формулами Крамера систему рівнянь:

 Запишемо відповідні визначники і знайдемо розв’язки системи рівнянь:

Р озв’яжемо систему рівнянь

 Обчислимо визначник цієї системи:

.

Визначник системи відмінний від нуля. Знайдемо тепер визначник і розв’язки системи рівнянь:

Формули Крамера незручні для практичних обчислень при , але вони застосовуються в теоретичних дослідженнях.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001