3. Задача знаходження капіталу за відомими чистими інвестиціями.

Нагадаємо, що чисті інвестиції — це загальні інвестиції, які надходять в економіку за певний проміжок часу, за відрахуванням інвестицій на відшкодування витраченого капіталу. Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на суму чистих інвестицій.

Якщо позначити через K(t) капітал як функцію часу, а чисті інвестиції — І(t), то згідно зі сказаним можна записати:

тобто чисті інвестиції — це похідна від капіталу за часом t.

Часто доводиться відшукувати приріст капіталу за період з моменту часу t₁ до t₂, тобто

K = K(t₂) – K(t₁).

Оскільки K(t) є первісною для функції І(t), можна записати:

(8)

В изначити приріст капіталу за три роки за даними чистими інвестиціями:

. (9)

^● Безпосередньо застосувавши формулу (8), дістанемо:

З а даними інвестиціями (9), знайти, за скільки років приріст капіталу становитиме 150 000.

^● Маємо K = 150 000. Позначимо шуканий проміжок часу через Т. Тоді:

або

Остаточно маємо:

Отже, потрібно 8,54989 років, щоб приріст капіталу досяг 150 000.

4 . Деякі задачі, розв’язувані за допомогою теорії інтегралів

Нехай f(x) = x² + 10х — навантаження на електростанцію; х — години, що відлічуються від початку доби. Обчислити середні витрати електроенергії за 2 доби.

За формулою (7)

( На теорему про середнє). Витрати виробництва K(x) визначаються формулою

K(x) = 3x² + 4x + 1,

де х — кількість вироблених одиниць продукції.

Знайти середнє значення витрат виробництва, якщо його обсяг змінюється від 0 до 3 умовних одиниць; указати обсяг продукції, за якого витрати набувають середнього значення.

^● Середнє значення  функції K(t) можна обчислити так:

Водночас з огляду на неперервність K(t) значення  досягається в деякій точці х₀, тобто K(х₀) = , або . Це рівняння має корені (х₀)₁ = – 3, (х₀)₂ =  . Отже, обсяг продукції, за якого витрати набувають середнього значення, дорівнює .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 7, стор. 401 – 411.

Розділ”Диференціальні рівняння”

Тема 22

Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь. Задача Коші. Геометричний зміст д/р. Загальний та частинний розв’язки д/р

Мета заняття Ознайомитися та вивчити основні початкові поняття теорії диференціальних рівнянь.

Розвивати зосередженість, кмітливість, логічне мислення.

Студенти повинні знати: поняття диференціального рівняння, його порядок; формулювати задачу Коші, поняття загального та частинного розв'язків рівняння; поняття інтегральної кривої.

Студенти повинні вміти: визначати порядок диференціального рівняння; відрізняти загальний та частинний розв'язки.

Основні питання теми

1.Що таке диференціальне рівняння?

2.Порядок д/р;

3.Розв’язок диференціального рівняння;

4.Інтегральна крива д/р;

5.Теорема Коші про існування і єдиність розв'язку;

6.Особливі точки, особливі розв'язки;

7.Загальний та частинний розв'язки (інтеграли) д/р;

8.Постановка задачі Коші для д/р першого порядку;

9.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Рівняння, що пов`язує незалежну змінну, невідому функцію та її похідні називається....

а)квадратним б)диференціальним

в)інтегральним г)логарифмічним

2.Порядок найвищої похідної, що входить до диференціального рівняння визначає..

а)перевірку рівняння б)степінь рівняння

в)порядок рівняння г)розв`язок рівняння

3.Функція, яка разом із своїми похідними обертає диференціальне рівняння в тотожність по х на інтервалі (а;b) називається...

а)інтегральною кривою диференціального рівняння

б)степенем диференціального рівняння

в)порядком диференціального рівняння

г)розв`язком диференціального рівняння

4.Диференціальне рівняння може мати...

а)загальний розв`язок б)частинний розв`язок

в)загальний інтеграл г)частинний інтеграл

5.Графік розв`язку диференціального рівняння називається...

а)дотичною до рівняння б)інтегральною кривою рівняння

в)нормаллю рівняння г)асимптотою рівняння

6.Якщо за допомогою початкових умов треба знайти частинний розв`язок диференціального рівняння, то кажуть, що треба...

а)записати формулу Коші б)зробити перетворення Коші

в)розв`язати задачу Коші г)розв`язати інтеграл Коші

7.Розв`язок, який можна отримати із загального розв`язку диференціального рівняння за допомогою початкових умов називається...

а)стандартним розв`язком рівняння

б)загальним розв`язком рівняння

в)індивідуальним розв`язком рівняння

г)частинним розв`язком рівняння

8.Якщо загальний розв`язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді,то такий розв`язок називають......

а)загальним інтегралом диференціального рівняння

б)загальною похідною диференціального рівняння

в)загальною первісною диференціального рівняння

г)загальною кривою диференціального рівняння

Завдання для самоперевірки

1.У чому полягає геометричний зміст рівняння у' = f (х,у)?

2. Порядок звичайного диференціального рівняння визначається за: а) найвищим степенем функції; б) найвищим степенем похідної функції; в) сумою порядків всіх похідних рівняння; г) порядком старшої похідної. (Виберіть правильну відповідь.)

3.Закінчте вирази:

- Звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку називається…

- Розв’язком диференціального рівняння називається …

4. Яка з наведених рівностей є загальним розв’язком диференціального рівняння , а яка — частинним?

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.8, стор. 421 – 426.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.

Теми рефератів

1.Диференціальні рівняння як математичні моделі економічних і фізичних

закономірностей.

2.Метод Ейлера наближеного розв'язку задачі Коші для диференціальних

рівнянь першого порядку.

Лекція „Загальні поняття та означення теорії

диференціальних рівнянь”

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найвищий порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. Надалі для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення «ДР».

у   = у — ДР першого порядку;

у  + siny = 0 — ДР другого порядку;

у   у  – у   у  = 0 — ДР третього порядку.

ДР першого порядку в загальному вигляді можна подати так:

(1)

Це ДР не розв’язуване відносно похідної. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, то подаємо його у вигляді

(2)

Це рівняння називається ДР першого порядку, розв’язува­ним відносно похідної. Його можна записати у вигляді

або

Якщо функція f(x, y) є дробом

,

то ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

Означення. Розв’язком ДР називається функція у = (х), яка в результаті підставляння в ДР замість шуканої функції перетворює це ДР на тотожність.

Графік функції у = (х) називається інтегральною кри- вою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.

Д Р у  = 2у має розв’язок у = е^2х.

^● Справді, підставляючи у  = е^2х  2, у = е^2х у ДР, дістаємо тотожність е^2х  2 2 е^2х.

Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, диференціальне рівняння у  = 2у має розв’язок у = Се^2х, де С — довільний сталий параметр.

Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргументу, то ДР для у(х) називається звичайним.

Якщо шукана функція залежить від кількох аргументів, то маємо ДР з частинними похідними. У цьому розділі викладаються лише звичайні ДР.

Задача Коші

Означення. Задача знаходження частинного розв’язку у = (х) ДР (2), що задовольняє умову:

у = у₀ при х = х₀, (3)

називається задачею Коші. Умови (3) називаються початковими умовами, а числа у₀, х₀ — початковими значеннями.

Під час розв’язання задачі Коші застосовується така теорема існування і єдиності розв’язку ДР.

Теорема 1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця

(4)

то при (х₀, у₀)  D існує єдиний розв’язок ДР у = (х), що задовольняє початкові умови (3).

Якщо в області D виконуються умови теореми існування і єдиності, то через кожну точку області D проходить одна інтегральна крива.

Задача Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку (х₀, у₀).

Умови (4) можна замінити іншою умовою:

Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, якщо всі точки цього розв’язку особливі.

Д Р першого порядку має розв’язок у = сх. Усі інтегральні криві перетинаються в точці (0, 0), яка є особливою точкою.

Д Р має очевидний (тривіальний) розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо через кожну точку розв’язку проходить ще один розв’язок у = (х – с)³.

Означення. Функція у = (х, с), що містить довільну сталу с, називається загальним розв’язком ДР у = f(x, y), якщо функція у = (х, с) є розв’язком ДР при довільному значенні сталої с, тобто

і якщо за рахунок вибору довільної сталої с можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння у₀ = (х₀, с) розв’язується відносно с.

Розв’язок виду у = (х, с₀) називається частинним розв’язком.

Д Р у = y має загальний розв’язок у = Се^х, бо (Се^х)  Се^х, а рівняння розв’язується відносно С,

Означення. Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

Д Р у = y має загальний розв’язок у формі Коші.

Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішого ДР

є інтеграл від f(x):

Загальний розв’язок ДР може бути знайдений у неявній формі, у вигляді рівняння (х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція (х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду (х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Д Р 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х² + у² = с.

^● Справді, знайдемо диференціали від лівої і правої частин рівняння х² + у² = с: d(x² + y²) = dc  2xdx + 2ydy = 0.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.8, стор. 421 – 426.

Розділ ”Ряди”