Тема 3 :
Ранг матриці. Умови сумісності та визначеності СЛР
Мета теми: усвоїти поняття ранга матриці; навчитися обчислювати ранг матриці, а також визначати сумісність і визначеність системи лінійних рівнянь.
Студент повинен знати: означення матриці; види матриць; поняття мінора та алгебраїчного доповнення до елемента матриці; поняття ранга матриці; умови сумісності та визначенності системи лінійних рівнянь.
Студент повинен вміти: виконувати дії над матрицями (додавання, віднімання, множення на число, множення матриць); обчислювати визначники 2-го, 3-го, 4-го порядків; знаходити обернену матрицю; обчислювати мінори та алгебраїчні доповнення до елементів матриці; знаходити ранг матриці.
Основні питання теми:
1.Поняття ранга матриці
2.Обчислення ранга матриці
3.Методи обчислення рангів
4.Умови сумісності та визначенності системи лінійних рівнянь.
7.Приклади обчислення рангів матриць.
Свої набуті знання ви можете перевірите в наступному тесті
1.Визначник, який утворюється з даного в результаті викреслення і-го рядка та j-го стовпця називається...
а)алгебраїчним доповненням А(і,j) елемента а(i,j) б)детермінантом А(i,j)
в)мінором М(i,j) елемента а(i,j) г)матрицею А
2.Якщо мінор елемента береться зі знаком(-1) у степені(i+j),то він називається...
а)алгебоаїчним доповненням А(i,j) елемента а(i,j) б)детермінантом А(i,j)
в)мінором М(i,j) елемента а(i,j) г)матрицею А
3.Прямокутна таблиця чисел, що складається з m рядків та n стовпців називається...
а)алгебраїчним доповненням А(i,j) елемента а(i,j)
б)детермінантом порядку i наj
в)мінором М(i,j) елемента а(і,j)
г)матрицею порядка m на n
4.Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
5.Якщо всі елементи матриці дорівнюють 0, то вона називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
6.Якщо всі елементи квадратної матриці, крім тих, що стоять на головній діагоналі, дорівнюють 0, то матриця називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
7.Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює 1, називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
8.Якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В, то матриця А називається ...... до матриці В
а)протилежною б)невиродженою
в)виродженою г)узгодженою
9.Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається...
а)протилежною б)невиродженою
в)виродженою г)узгодженою
10.Якщо визначник матриці не дорівнює нулю, то вона називається...
а)протилежною б)невиродженою
в)виродженою г)неузгодженою
11.Найбільший з порядків мінорів матриці А, що не дорівнює нулю, називається...
а)визначником матриці А б)рангом матриці А
в)алгебраїчним доповненням матриці А г)множником матриці А
12.Система лінійних рівнянь, що має 3 змінних і 3 рівняння має едине рішення, якщо головний визначник системи...
а)не дорівнює 0 б)дорівнює 0
в)не існує г)дорівнює рангу системи
13.Матриця А має обернену тоді і тільки тоді, коли вона є ...
а)виродженою б)невиродженою
в)нульовою г)узгодженою
Завдання для самоперевірки
Обчислити ранг наступних матриць
.
.
Відповідь. r = 2. Відповідь. r = 3.
.
.
Відповідь. r = 2. Відповідь. r = 2.
. 
.
Відповідь. r = 3. Відповідь. r = 3.
. 
.
Відповідь. r = 4. Відповідь. r = 3.
.
.
Відповідь. r = 2. Відповідь. r = 3.
.
Відповідь. r = 6. Відповідь. r = 5.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.18 – 19, 30 – 31.
Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Матричне числення (приклади з економіки)
2.Історія розвитку лінійної алгебри.
Лекція „Ранг матриці”
Створено багато методів і способів розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розглянемо найважливіші з них, що спираються на поняття рангу матриці.
Означення. Рангом матриці А називається ранг її векторів-стовпців.
Отже, рангом матриці можна назвати найбільше число лінійно незалежних її стовпців. Далі за допомогою теорії визначників буде доведено, що ранг матриці дорівнює також найбільшому числу лінійно незалежних її рядків. Із теореми 6, наведеної в підрозд. 2.1.3, випливає така теорема.
Теорема 1. Ранг матриці не змінюється в результаті еквівалентних перетворень стовпців або рядків матриці.
За допомогою еквівалентних перетворень досягають того, щоб якомога більше елементів матриці дорівнювали нулю. Для обчислення рангу матриці користуються наведеною далі теоремою.
Теорема
2.
Нехай у матриці А
в кожному рядку і кожному стовпці
міститься не більш як один ненульовий
елемент. Тоді
дорівнює загальному числу всіх ненульових
елементів матриці А.
Доведення теореми випливає з того, що стовпці матриці, які містять ненульові елементи, будуть лінійно незалежні.
З найдемо ранг матриці
.
Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого рядка. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. У результаті дістанемо еквівалентну матрицю:
.
Віднявши другий рядок від третього, запишемо матрицю
.
Обчислення
рангу матриці на цьому етапі можна
припинити, оскільки матриця А2
має лише два ненульові рядки. Звідси
випливає, що ранг матриці А2
не може бути більшим за два. Крім того,
матриця А2
має два ненульові лінійно незалежні
рядки. Отже,
.
Продовжимо еквівалентні перетворення матриці А2. Помножимо перший стовпець на 2 і віднімемо від другого стовпця, далі додамо перший стовпець до третього, помножимо перший стовпець на 3 і віднімемо від четвертого стовпця. Зрештою дістанемо матрицю
.
Помножимо другий її стовпець на 4 і віднімемо від третього стовпця, далі помножимо другий стовпець на 5 і додамо до четвертого стовпця. У результаті утвориться матриця
,
яка
в кожному рядку і кожному стовпці має
не більш як один ненульовий елемент.
Таким чином,
.
Перейдемо до розгляду систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Їх розв’язування зводиться до виконання еквівалентних (тобто таких, що не змінюють розв’язків) перетворень системи рівнянь. А саме, можна переставляти рівняння, множити рівняння на числа, відмінні від нуля, і додавати до одного рівняння інше, помножене на деяке число.
Означення. Якщо система лінійних рівнянь має розв’язки, то вона називається сумісною. Якщо система рівнянь не має розв’язків, то вона називається несумісною, або суперечливою. Якщо розв’язок системи єдиний, то система називається визначеною. Якщо система має більш як один розв’язок, її називають невизначеною.
Розглянемо систему однорідних рівнянь
(1)
Теорема
3.
Для того щоб однорідна система лінійних
алгебраїчних рівнянь (1) мала єдиний
нульовий розв’язок
,
необхідно і достатньо, щоб при
дефект матрицікоефіцієнтів цієї системи
дорівнював нулю.
Іншими словами, система лінійних однорідних рівнянь (1) має лише нульовий розв’язок, якщо ранг матриці А дорівнює n.
Теорема 4. Для того щоб однорідна система рівнянь (1) мала ненульовий розв’язок, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці А був меншим від n.
Оскільки
при
ранг матриці
А не
може бути більшим за m,
то при
система однорідних рівнянь (1) є
невизначеною і завжди має ненульовий
розв’язок.
Теорема
5.
Якщо ранг r
матраці
А менший
за n,
то загальне число лінійно незалежних
ненульових розв’язків системи (1)
дорівнює дефекту матриці:
.
При цьому загальні розв’язки системи (1) можна подати у вигляді
,
де
— лінійно незалежні розв’язки системи
рівнянь
.
Розглянемо тепер неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(3)
Теорема 6. (Кронекера—Капеллі). Для того щоб неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь (3) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці А дорівнював рангу розширеної матриці
.
Доведення.
Якщо
,
то перший стовпець матриці
є лінійною комбінацією решти її стовпців,
а
отже,
система рівнянь (3) має розв’язки.
Коли
система (3) має розв’язки, то перший
стовпець матриці
є лінійною комбінацією решти її стовпців.
Звідси випливає, що матриці
і
містять однакове число лінійно незалежних
стовпців. Отже,
,
що й доводить теорему.
Загальний розв’язок системи рівнянь (3) складається з частинного розв’язку системи (3) та загального розв’язку однорідної системи (1). Таким чином, очевидними є наведені далі теореми.
Теорема
7.
Для того щоб неоднорідна система рівнянь
(3) мала єдиний розв’язок, необхідно,
щоб
.
Теорема
8.
Нехай
.
Система неоднорідних рівнянь (3) має
загальний розв’язок виду
,
де
—
частинний розв’язок неоднорідної
системи рівнянь (3), а
— лінійно незалежні розв’язки однорідної
системи
.
Можна дійти висновку, що коли число m рівнянь у системі (3) менше за число невідомих n, то ця система або невизначена, або суперечлива.
С
истема
рівнянь
є несумісною.
Справді, якщо перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого рівняння, дістанемо неможливу числову рівність 0 = 1.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.18 – 19, 30 – 31.
Розділ „Елементи векторної алгебри та
аналітичної геометрії”
Тема 4
Вектори і лінійні дії над ними. Розклад вектора за базисом. Координати вектора, довжина вектора, дії над векторами, що задаються своїми координатами. Обчислення скалярного добутку та косинуса кута між двома векторами.
Мета заняття Узагальнення та систематизація знань з даної теми, повторення формул стереометрії.
Розвивати просторове мислення.
Студенти повинні знати: означення вектора та лінійні дії над ними; поняття про базис вектора; основні формули дій над векторами, які задані координатами, означення направляючих косинусів; означення скалярного добутку у просторі, та косинуса кута між векторами;
Студенти повинні вміти: виконувати лінійні дії над векторами; розкладати вектор за базисом; виконувати дії над векторами, які задані координатами; обчислювати скалярний добуток двох векторів на площині і у просторі.
Основні питання теми
1.Скалярні та векторні величини; дії над векторами;
2.Розклад вектора за базисом на площині та у просторі; координати вектора;
3.Формули для обчислення довжини вектора;
4.Скалярний добуток двох векторів та його властивості;
5.Обчислення кута між двома векторами;
Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Відрізок, що має певну довжину і певний напрямок називається...
а)промінем б)вектором
в)хордою г)медіаною
2.Одиничний вектор,напрям якого збігається з даним вектором, називається...
а)0-вектором б)вектор-сумою
в)модулем вектора г)ортом
3.Якщо 2 вектора лежать на одній прямій, або на паралельних прямих, вони називаються...
а)компланарними б)скалярними
в)рівними г)колінеарними
4.Якщо 3 вектора лежать в одній площині або в паралельних площинах, вони називаються...
а)компланарними б)скалярними
в)рівними г)колінеарними
5.Довільна упорядкована пара неколінеарних векторів називається... на площині
а)ортом б)комбінацією
в)основою г)базисом
6.Довільна упорядкована трійка некомпланарних векторів називається у просторі
а)ортом б)комбінацією
в)основою г)базисом
7.Коефіциєнти, що стоять біля векторів базису в розкладанні вектора за базисом називаються в даному базисі...
а)ортами вектора б)системою вектора
в)координатами вектора г)проекцією вектора
8.Добуток довжин двох векторів на косинус кута між ними називається...
а)кутовим добутком б)мішаним добутком
в)векторним добутком г)скалярним добутком
Завдання для самоперевірки
1.Довести, що вектори а = (3;-2;1), b = (-1;1;-2), с = (2;1;-3) і d = (11;-6;5) лінійно залежні. Виразити вектор d як лінійну комбінацію векторів а, b i с.
2.Відомо, що вектор а = (0;-2;-3) і b = (3;2;3). Переконатись,що |3а + 2b| = 7.
3.Знайти координати векторів, їхню довжину та кути між ними, якщо вони задані в системі координат на малюнку. Довжина сторони правильного шестикутника дорівнює 4.
4.Визначити скалярний добуток векторів х і y:
a)
б)
Відповідь. а) 9; б) 0.
5.Визначити кут між векторами х і y:
a)
б)
в)
Відповідь.
а) 90;
б) 45;
в) 
.
6.Закінчте вирази:
1). Вектором називається …
2). Вектори вважаються рівними, якщо …
3). З векторами виконуються такі лінійні операції: …, за правилами…
4). Лінійні операції над векторами мають такі властивос- ті: …
5). Проекцією вектора на вісь називається …
6). Проекція добутку вектора на скаляр дорівнює … (до- вести).
7). Проекція суми векторів дорівнює … (довести).
7.
Перевірити за допомогою паралелограма,
побудованого на векторах
,
справджуваність таких тотожностей:
;
;
;
.
8.
На сторонах ОА
і ОВ
прямокутника ОАСВ
відкладено одиничні орти
.
Виразити через них вектори
і
,
якщо довжина
.
9.
Яку особливість у розташуванні повинні
мати вектори
і
,
щоб виконувались співвідношення:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
10.
За якої умови, накладеної на вектори
і
,
вектор
ділить кут між ними навпіл?
11.
Три вектори
є сторонами трикутника. За допомогою
векторів
виразити медіани трикутника
.
12.
У рівнобічній трапеції ОАСВ
кут ВОА
= 60,
ОВ = ВС =
=
СА = 2, М
і N —
середини сторін ВС
і АС.
Виразити вектори
,
через
і
— одиничні вектори напрямів
і
.
13. Сторона
ВС
трикутника розділена на п’ять рівних
частин точками
,
які з’єднані з вершиною А.
Вектори
Знайти вирази для векторів
.
14. В
ромбі ABCD
дано діагоналі
.
Розкласти за цими векторами всі вектори,
що збігаються зі сторонами ромба:
.
15. У
правильному шестикутнику ABCDEF
дано:
і
.
Розкласти за цими векторами вектори
.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
гл. , стор.32 – 57.
Лекція” Вектори, лінійні операції над векторами”
Означення. Векторною величиною, або вектором (у широкому розумінні), називається будь-яка величина, що має напрям (наприклад, сила, що діє на матеріальну точку).
Означення. У геометрії вектором (у вузькому розумінні) називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.
Означення. Два вектори називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.
Рівні
вектори є паралельними (колінеарними),
мають один і той самий напрям і однакову
довжину. Довжина вектора а
називається також абсолютною
величиною,
або модулем,
вектора і позначається
.
Означення. Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.
На письмі вектор позначається напівжирним шрифтом.
Щоб знайти суму двох векторів а і b, сумістимо початок вектора b з кінцем вектора а.
Означення. Сумою a + b векторів a та b називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
Додавання векторів комутативне, тобто для довільних векторів a і b справджується рівність (рис. 2)
a + b = b + a. (1)
Додавання векторів асоціативне, тобто для будь-яких векторів a, b, c виконується рівність
(a + b) + c = a + (b + c). (2)
Цю властивість, що випливає з означення суми векторів, унаочнює рис. 3.
Рис. 3
Віднімання векторів — операція, обернена до їх додавання. Різниця b – a векторів a і b являє собою вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 4).
a + (b – a) = b
Рис. 4
Для будь-яких векторів a, b виконуються нерівності:
.
Розглянемо довільний вектор a і вісь х.
Означення. Якщо вектор a утворює кут з віссю х (рис. 5), то проекцією вектора а на вісь називається величина
. (3)
Рис. 5
Якщо х1 — координата проекції початку вектора, а х2 — координата проекції кінця вектора на вісь х, то
(4)