Тема 1:

Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників.

Розклад визначника за елементами рядків та стовпців

Мета теми:вивчити поняття визначника третього порядку,-го порядку, їх властивості. Навчитися користуватися теоремою про розкладання визначника.

Студент повинен знати: означення визначника третього та n порядків, властивості; теорему про розкладання визначника.

Студент повинен вміти:обчислювати визначники другого, третього та четвертого порядків; застосовувати теорему про розкладання визначника за елементами рядків та стовпчиків для обчислювання визначників.

Основні питання теми

При вивченні цієї теми треба спочатку уважно прочитати матеріал, зробити конспект, в якому повинні бути означення визначників, їх властивості та схема їх обчислення. Це зручно зробити за наступним планом:

1.Означення визначника 2,3 та n порядку.

2.Загальний вигляд визначника 2, 3 та n порядку.

3.Властивості.

4.Розкладання визначника за елементами рядків та стовпців.

5.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірте в наступному тесті.

1.Різниця добутків елементів, що стоять у головній та побічній діагоналях називається...

а)матрицею другого порядку б)визначником другого порядку

в)визначником третього порядку г)квадратною матрицею

2.Якщо рядки визначника замінити відповідними стовпцями, а стовпці рядками, то визначник....

а)дорівнює 0 б)не зміниться

в)збільшить порядок г)поміняє знак на протилежний

3.Якщо у визначника поміняти місцями 2 рядка або стовпчика, то він...

а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться

в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний

4.Якщо один з рядків визначника (або стовпчиків) складається з нулів, то він...

а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться

в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний

5.Якщо визначник має 2 однакових рядка або стопчика, то він...

а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться

в)збільшує порядок г)змінить знак на протилежний

6.Якщо елементи двох рядків або стовпчиків визначника пропорційні, то він...

а)буде дорівнювати 0 б)не змінюється

в)збільшує порядок г)змінює знак на протилежний

7.Якщо до елементів одного рядка (стовпчика) визначника додати або відняти елементи іншого рядка (стовпчика), або елементи, пропор-ційні до них, то визначник...

а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться

в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний

8.Обчислити визначники

Завдання для самоперевірки

Обчислити визначники різними методами:

3 2 4 1 -2 5 -3 4 0 6

1 -4 5 2 1 -3 2 -1 3 2

2 3 1 -1 3 4 4 0 5 1

1 2 3 -5

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 6 – 12.

Лекція „Визначники третього порядку”

Вираз

являє собою визначник третього порядку.

Існує простий спосіб розкриття визначника третього порядку — так зване правило Саррюса. Допишемо до визначника (2) перший і другий стовпці, а далі перемножатимемо елементи, що розміщені на одній лінії, як показано на схемі:

Добуток елементів, які розміщені на лініях, що йдуть згори ліворуч униз праворуч, береться зі знаком «+». Добуток елементів, розміщених на лініях, що йдуть згори праворуч униз ліворуч, береться зі знаком «–».

О бчислимо визначник третього порядку

.

 За правилом Саррюса складемо таблицю

і знайдемо значення визначника:

D₃ = 1  2  2 + 2  1  3 + 3  2  1 – 3  2  3 – 1  1  1 – 2  2  2 = –11. 

Оскільки визначник n-го порядку складається з n! доданків, то формула (1) не застосовується для обчислення визначників при n > 3 (уже при n = 4 визначник містить 4! = 24 доданки).

Для обчислення визначників застосовують властивості, що розглядаються далі.

Властивості визначників

Властивість 1. При транспонуванні визначника його значення не змінюється.

Доведення. Доведемо, що визначники

рівні. Розглянемо доданки, які входять до D:

.

Якщо позначити , то до визначника D₁ увійде відповідний доданок

.

Оскільки до визначників D та D₁ входять однакові доданки з однаковими знаками, то D = D₁.

Із властивості 1 випливає, що рядки та стовпці визначника рів­ноправні. Усі наведені далі властивості, що справджуються для рядків, виконуються й для стовпців. 

Д ля визначника другого порядку маємо:

.

Властивість 2. Якщо всі елементи деякого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Оскільки кожний із доданків, що входять до визнач­ника, містить нульовий множник, то всі доданки дорівнюють нулю і визначник також дорівнює нулю. 

Властивість 3. Якщо всі елементи будь-якого рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визнач­ника.

Доведення. Кожний із доданків, що входять до визначника, містить один із елементів розглядуваного рядка. Тому спільний множник елементів цього рядка можна виносити із суми цих доданків. 

О бчислимо визначник:

.

Властивість 4. Якщо поміняємо місцями два рядки визначника, то він змінить свій знак.

Доведення. У визначнику n-го порядку поміняємо місцями k-й і s-й рядки (s > k). Здобутий визначник позначимо D₁. Якщо до визначника D входить доданок

,

то до визначника D₁ обов’язково входить аналогічний доданок

.

Оскільки переставлення других індексів відрізняються однією транспозицією, то парність переставлень різна. Отже, доданок, що є добутком розглядуваних елементів, завжди входить до в изначників D та D₁ з різними знаками. Це й доводить потрібну властивість. 

Поміняємо місцями рядки у визначнику:

.

Властивість 5. Якщо у визначнику два рядки однакові, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Поміняємо місцями однакові рядки визначника. Він при цьому не зміниться, а згідно з властивістю 4 лише змінить свій знак, тобто D = –D. Звідси випливає, що D = 0. 

Д ля визначника третього порядку виконується рівність:

,

оскільки цей визначник має два однакові рядки.

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні до відповідних елементів іншого рядка, то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Винесемо множник пропорційності за знак визнач­ника й дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю. 

Властивість 7. Якщо у визначнику D всі елементи будь-якого рядка є сумою двох доданків, то цей визначник є сумою двох визначників, усі елементи яких (крім фіксованого рядка) збігаються. У першому визначнику фіксований рядок містить перші доданки, у другому визначнику фіксований рядок містить другі доданки.

Доведення. Візьмемо k-й рядок. Оскільки до кожного з доданків, що утворюють визначник, входить один із елементів k-го рядка, то можна в загальному вигляді записати розклад визначника за елементами цього рядка:

.

Множники називаються алгебраїчними доповненнями елементів . Якщо ці елементи є сумами двох доданків то

що й доводить сформульовану властивість. 

З а властивістю 7 маємо:

.

Властивість 8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого його рядка, помноживши на одне й те саме число, то значення визначника при цьому не зміниться.

Доведення. Додамо до елементів k-го рядка визначника D елементи s-го його рядка , помножені на число . Здобутий визначник набере такого вигляду D₁:

Останній доданок дорівнює нулю, бо визначник має однакові k-ті та s-ті рядки. Отже, D₁ = D. 

М аємо рівність визначників:

.

Із доведення властивостей 7 і 8 випливають розглянуті далі властивості визначників.

Властивість 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка або стовпця визначника на відповідні алгебраїчні доповнення дорівнює цьому визначнику, тобто якщо

,

то справджуються рівності:

Властивість 10. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю:

.

Аналогічна властивість виконується для стовпців:

.

О бчислимо визначник четвертого порядку

.

 Додамо перший рядок до другого і четвертого, утворивши визначник

.

Поміняємо місцями перший і третій стовпці:

.

Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього і четвертого рядків:

.

Віднявши третій рядок від четвертого, обчислимо даний визначник за формулою (1):

.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001