Геометрична інтерпретація

1. Площа, обмежена кривою В'АВ, має різні знаки по різні боки кожної межі інтегрування а (рис. 2).

Рис. 2

2. Площі кривих, розміщених над віссю абсцис, вважаються додатними, а площі кривих, розміщених під віссю абсцис, — від’ємними (рис. 3).

Рис. 3

Знайти суму площ двох сусідніх хвиль синусоїди

^● (рис. 4).

Рис. 4

Властивість 5. Якщо j(х) > y(х) для х Î (a; b), a < b, то справджується рівність:

Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:

(5)

Властивість 7. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

(6)

Властивість 8. Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то

(7)

Властивість 9. Якщо f(x) інтегровна на [a; b], де а < b, і якщо на цьому проміжку виконується нерівність

то

(8)

Властивість 10. (Теорема про середнє значення.) Нехай f(x) — інтегровна на [a; b] функція і на всьому проміжку Тоді

(9)

де

Випадок неперервної функції f(x). Якщо числа m i M — відповідно найбільше і найменше значення функції (вони існують за теоремою Вейєрштрасса), то за теоремою Больцано—Коші проміжного значення m функція f(x) набуває в деякій точці с проміжку [a, b].

Таким чином,

Геометрична ілюстрація. Нехай f(x) ³ 0. Розглянемо криволінійну фігуру АВСD, обмежену кривою у = f(x) (рис. 5). Площа такої фігури (виражена визначеним інтегралом) дорівнює площі прямокутника з основою АВ і висотою LM.

Рис. 5

ІІ. Розглянемо інший підхід до поняття визначеного інтеграла.

Відомо, що для неперервної на проміжку [a, b] функції f(x) інтеграл

є первісною. Якщо F(x) — будь-яка первісна для f(x) функція, то

Сталу С можна визначити, узявши х = а або Ф(а) = 0. Дістанемо

0 = Ф(а) = F(x) + С, звідси С = – F(x).

Остаточно,

Ф(х) = F(x) – F(а).

Зокрема, при х = b маємо:

або

, де (1)

Наведена залежність називається формулою Ньютона—Лейбніца і є основною формулою інтегрального числення.

За допомогою формули (1) встановлюється зв’язок між теоремами про середнє в диференціальному та інтегральному численні.

1.

2.

Формули зведення. Формула інтегрування частинами

Основна формула інтегрального числення може в деяких випадках відразу давати значення визначеного інтеграла. Проте за її допомогою різні формули зведення в теорії невизначених інтегралів перетворюються на аналогічні формули вже у визначених інтегралах, що дозволяє обчислення одного інтеграла зводити до обчислення іншого простішого інтеграла.

Загальна форма формул зведення має вигляд:

(2)

Якщо областю застосування такої формули є проміжок [a, b], то маємо формулу

(3)

^● Справді, позначимо

_ g(x)dx = Ф(х).

Тоді за основною формулою (3) дістанемо:

Але

тому приходимо до формули (3).

Зокрема, формула інтегрування частинами набирає вигляду:

(4)

а узагальнена формула подається так:

Формула (4) встановлює співвідношення між числами, і вона простіша за формулу (3), яка встановлює відповідності між функціями.

О бчислити інтеграл

^● За формулою (4) маємо:

Звідси дістаємо рекурентну формулу:

або

(5)

За допомогою формули (5) інтеграл I_n послідовно зводиться до інтеграла І₀ або І₁.

Якщо n — парний степінь (n = 2k), то

.

Якщо n — непарний степінь (n = 2k + 1), то

.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор.365 – 380.