- •Будова математичної теорії Ключові поняття
- •Тема 1:
- •Тема 2 :
- •Тема 3 :
- •Нехай вектор а має початок у точці м1(х1, y1, z1), а кінець — у точці м2(х2, y2, z2). Тоді величини
- •● Згідно з (5) записуємо рівняння двох бісектрис:
- •Умова перпендикулярності площин така:
- •Дві площини збігаються, якщо виконується рівність
- •Тема 9
- •Тема 10
- •Тема 11
- •Основні поняття
- •Тема 12
- •Тема 13
- •Правила обчислення диференціала
- •Формула для знаходження диференціала
- •Тема 14
- •Тема 15
- •Тема 16
- •Тема 17
- •Тема 18
- •Тема 19
- •Тема 20
- •Геометрична інтерпретація
- •Тема 21
- •1 . Обчислення площі фігури у прямокутних координатах
- •2 . Довжина дуги кривої
- •Графічна інтерпретація
- •3. Задача знаходження капіталу за відомими чистими інвестиціями.
- •4 . Деякі задачі, розв’язувані за допомогою теорії інтегралів
- •Тема 22
- •Тема 23
- •Теорема 5. (Теорема Рімана.) Якщо ряд збігається умовно і s — будь-яке наперед задане число, то завжди можна переставити члени ряду так, щоб сума отриманого ряду дорівнювала s.
- •Тема 24
Правила обчислення диференціала
Правило 1. Нехай .
Тоді
або
Правило 2. Дано .
Тоді
Правило 3. Маємо , .
Тоді
. Знайти диференціал
за правилом 3 маємо:
Правило 4. Якщо , , то
Правило 5. Якщо функція має обернену , то
.
Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді
, ,
то
.
З ауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.
Інваріантність форми першого диференціала функції
Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.
Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді
. (1)
Виконаємо заміну змінних u = (x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:
.
Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:
, (2)
або
. (3)
Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді
.
Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:
Формула для знаходження диференціала
справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.
З ауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.
З найти диференціал функції .
З найти dy з виразу .
До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:
Звідси
.
З найти .
.
Диференціали вищих порядків
Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .
Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).
Позначення:
Аналогічно дістаємо третій диференціал і т. д. до диференціала n-го порядку .
Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:
(1)
З найти третій диференціал функції
.
Згідно з (1) дістаємо:
З ауваження. Формули (1) при будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і .
Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:
.
Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = (t), то dx вже залежить від t, і dx = (t)dt, тому при x = (t) дістаємо:
(2)
Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.5, стор. 225 – 233