§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
Лемма 4.4. Для того чтобы матрица А линейного оператора в некотором базисе пространства имела диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов оператора f, причем диагональными элементами матрицы А являются собственные значения этого оператора.
►Пусть
– (4.55)
базис пространства , A – матрица оператора f в этом базисе. Тогда
{А
–
диагональная}
{(4.55)
состоит из собственных векторов оператора
а
– его собственные значения}.◄
Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица – диагональная.
Теорема 4.13. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля P, – линейное пространство над Р, – тот линейный оператор, матрица которого в некотором базисе (4.55) пространства совпадает с А. Тогда для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы в существовал базис, состоящий из собственных векторов оператора f.
►Выберем в еще один базис
(4.56)
и обозначим Т матрицу перехода от исходного базиса (4.55) к базису (4.56). Матрица оператора f в этом базисе имеет вид . Тогда
{в существует базис (4.56) из собственных векторов оператора f }
{матрица оператора в базисе (4.56) диагональная} {А приводится к диагональному виду}.◄
Следствие. Если все характеристические числа матрицы А различны и принадлежат полю Р, то А приводится к диагональному виду над Р.
Замечание. Если матрица А приводится к диагональному виду – матрице , то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т, приводящая А к диагональному виду, есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.
Лемма
4.5.. Пусть
– собственное значение кратности
линейного оператора
.
Тогда
.
►Предположим,
что
.
Выберем в
какой-либо базис
и дополним его до базиса
(4.57)
пространства . В базисе (4.57) матрица А оператора f выглядит так
,
а
ее характеристический многочлен (значит,
и характеристический многочлен оператора
f)
имеет вид:
,
где
–некоторый многочлен степени
.
Очевидно,
– корень характеристического многочлена.
Если
– кратность
,
то
,
что противоречит условию.◄
Теорема 4.14. Для того чтобы квадратная матрица А n-го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р, необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие
,
(4.58)
где
– кратность корня
характеристического уравнения матрицы
А.
►Пусть
– линейный оператор, построенный в
теореме 4.13. На основании свойства 4º §
5 количество всех линейно независимых
собственных векторов линейного оператора
совпадает с суммой размерностей
подпространств
по всем собственным значениям
.
Если это количество линейно независимых
собственных векторов обозначить через
m,
то
.
Тогда
{А
приводится к диагональному виду}
{в
существует базис из собственных векторов
оператора f}
{любое характеристическое число
является собственным значением и
}
:
и
:
и
.◄