- •Глава 4. Линейные операторы
- •§ 1. Понятие отображения
- •3. Такой, что
- •§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •§ 3. Матрица линейного оператора Определение матрицы линейного оператора
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
- •§ 5. Операции над линейными операторами
- •§ 6. Невырожденные линейные операторы
- •§ 7. Обратный линейный оператор
- •§ 8. Изоморфизм линейных пространств
- •Свойства изоморфизма
- •§ 9. Образ и ядро линейного оператора
- •По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса
- •§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов
- •§ 11. Линейные формы
- •§ 12. Собственные векторы линейного оператора
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
- •Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р
- •§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы
- •Некоторые свойства жордановой матрицы
Связь координат вектора с координатами его образа
Пусть в линейном пространстве задан базис (4.8) и пусть – матрица линейного оператора в этом базисе. Выберем произвольный вектор и положим . Обозначим и – координатные столбцы векторов и соответственно в базисе (4.8). Тогда
[(4.3)] [(4.11)] = ,
и
. (4.13)
Равенство (4.13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (4.8), а коэффициенты разложения –координаты вектора в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем
. (4.14)
Записав (4.14) по правилу цепочки ( ), получаем
. (4.15)
Формула (4.14) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (4.15) –ее матричная запись.
Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(4.16)
и
, (4.17)
и пусть A = и – матрицы линейного оператора в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда
, (4.18)
где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).
►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем
= [определение матрицы перехода] = = [(4.3)] = =
= [(4.11)] = = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .
Итак,
= . (4.19)
Равенство (4.19) задает разложение вектора по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,
. (4.20)
В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство
, (4.21)
которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:
. (4.22)
Так как (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄
Определение. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .
Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.
Лемма 4.1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители. ► .◄
Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .
§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
Пусть – линейный оператор, – его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть – некомпланарные векторы, а – их образы. Обозначим и координатные столбцы в выбранном базисе векторов и соответственно, , – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (4.15), получаем
[(4.15) § 3] [§ 5 гл. 1] =
[§ 6 гл. 1] . (4.23)
Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку и линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в ( -мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в
. (4.24)
Обозначим координатный столбец вектора в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, объемом -мерного параллелепипеда (4.24) будем называть число
.
Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.
Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (4.23).
Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.