Примеры линейных операторов
1.
Нулевой оператор
:
.
Очевидно, этот оператор удовлетворяет
условиям 1* и 2*, значит, является линейным.
2.
Тождественный оператор
также, очевидно, является линейным.
3.
Оператор дифференцирования
,
который каждой дифференцируемой функции
ставит в соответствие ее производную,
является линейным, так как производная
суммы функций равна сумме их производных,
а при умножении функции на число ее
производная умножается на это число.
4.
Пусть
– пространство свободных векторов,
Покажем,
что оператор проектирования на ось
является линейным.
►В
аналитической геометрии доказывалось,
что
.
Тогда
:
=
=
=
=
;
:
=
=
=
Таким образом, условия 1* и 2* выполняются, а значит, оператор проектирования вектора на ось является линейным.◄
5
.
В пространстве
векторов
плоскости, закрепленных в начале
координат О,
рассмотрим оператор
поворота вектора на угол
против часовой стрелки и докажем его
линейность.
► Пусть
– произвольные векторы,
(рис.
4.4),
.
Построим
и
по правилу параллелограмма. Так как
плоскость поворачивается
Рис.4.4
как жесткое целое,
методами элементарной геометрии нетрудно
показать, что при этом повороте диагональ
переходит в диагональ
.
Значит,
.
П
Рис. 4.5
,
,
,
,
(рис.4.5). Очевидно, вектор
получен из
поворотом на угол
,
следовательно,
,
а значит,
.
Аналогично это свойство проверяется и
при
,
а при
оно очевидно.◄
Теорема
4.1. Пусть
и
– линейные пространства над одним и
тем же полем P
и пусть в пространстве
задан базис
,
(4.4)
а в пространстве – произвольная система векторов
.
(4.5)
Тогда
существует единственный линейный
оператор
,
переводящий базис (4.4) в систему (4.5), то
есть такой, что
:
.
(4.6)
►Построение.
Выберем произвольный вектор
и разложим его по базису (4.4):
.
Положим по определению
.
Линейность.
Если
– произвольные векторы,
,
то
,
,
,
.
Тогда
=
[определение f]
=
;
.
Выполнение
(4.6). Заметим,
что все координаты вектора
в
базисе (4.3) равны нулю, за исключением
k-й,
которая равна 1. Таким образом, i-я
координата вектора
равна
,
то есть
.
Тогда
,
значит, условие (4.6) выполнено.
Единственность.
Предположим, что существует еще один
линейный оператор
,
,
переводящий (4.4) в (4.5), то есть такой, что
.
Тогда
:
– противоречие.◄
Простейшие свойства линейного оператора
1º. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .
►Пусть
– линейный оператор. Тогда
.◄
2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства .
►Пусть
– линейно зависимые векторы. Это значит,
что существуют числа
,
не все равные нулю, такие, что
.
(4.7)
Подействуем линейным оператором на обе части равенства (4.7). Тогда
(4.7)
[(4.3)
и 1º]
.
Так
как среди чисел
есть отличные от нуля, то система {
}
линейно зависима.◄
Упражнение. Верно ли утверждение: при линейном операторе линейно независимые векторы переходят в линейно независимые?