- •Глава 4. Линейные операторы
- •§ 1. Понятие отображения
- •3. Такой, что
- •§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •§ 3. Матрица линейного оператора Определение матрицы линейного оператора
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
- •§ 5. Операции над линейными операторами
- •§ 6. Невырожденные линейные операторы
- •§ 7. Обратный линейный оператор
- •§ 8. Изоморфизм линейных пространств
- •Свойства изоморфизма
- •§ 9. Образ и ядро линейного оператора
- •По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса
- •§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов
- •§ 11. Линейные формы
- •§ 12. Собственные векторы линейного оператора
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
- •Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р
- •§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы
- •Некоторые свойства жордановой матрицы
Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р
1. Составляем характеристический многочлен матрицы А и находим его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р, то А к диагональному виду не приводится.
2. Если все характеристические числа принадлежат полю Р, то для кратных корней проверяем условие (4.58) (для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней (4.58) не выполняется, то А к диагональному виду не приводится.
3. Если для каждого из собственных значений условие (4.58) выполняется, то А к диагональному виду приводится. Записываем этот диагональный вид – матрицу , располагая на ее главной диагонали собственные значения в произвольном порядке, причем каждое из значений повторяем столько раз, какова его кратность.
4. Записываем матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, – матрицу перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов, сохраняя порядок, установленный матрицей .
Пример. Найдем диагональный вид матрицы А и невырожденную матрицу Т, приводящую к этому диагональному виду, если
.
▼1.
2.
,
следовательно, А к диагональному виду приводится.
3. .
4. Находим собственные векторы:
;
Для искомого базиса находим два линейно независимых собственных вектора (фундаментальную систему решений): и .
: ;
( находим с помощью алгебраических дополнений).
4. Записываем T – матрицу перехода от исходного базиса к построенному базису из собственных векторов:
▲
§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора
Определение. Если – собственное значение линейного оператора , а система векторов пространства удовлетворяет условиям:
то вектор , называется i-м присоединенным вектором к собственному вектору линейного оператора .
Теорема 4.15. Пусть – линейное пространство над полем Р. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю Р, то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора f, причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения (без доказательства).
Правило нахождения присоединенных векторов
Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором базисе, – координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:
что равносильно уравнению
.
Таким образом, видим, что для отыскания i-го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.
Пример. Найдем базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей
▼ Находим собственные значения.
.
Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
,
, значит, в искомом базисе – один собственный вектор и два присоединенных. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей .
4
7
Получаем систему:
В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение . Теперь находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (4.59) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов по намеченным стрелкам:
.
Получаем систему
(4.60)
Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (4.60): , а второй – как решение системы с той же матрицей, но в качестве столбца свободных членов уже дописываем координатный столбец вектора , и опять пересчитываем его по намеченным стрелкам:
(4.61)
Частное решение системы (4.61) и будет вторым присоединенным вектором: .
Итак, искомый базис: – собственный; – 1-й присоединенный; – 2-й присоединенный векторы. ▲
Замечание. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам.