- •Глава 4. Линейные операторы
- •§ 1. Понятие отображения
- •3. Такой, что
- •§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •§ 3. Матрица линейного оператора Определение матрицы линейного оператора
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
- •§ 5. Операции над линейными операторами
- •§ 6. Невырожденные линейные операторы
- •§ 7. Обратный линейный оператор
- •§ 8. Изоморфизм линейных пространств
- •Свойства изоморфизма
- •§ 9. Образ и ядро линейного оператора
- •По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса
- •§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов
- •§ 11. Линейные формы
- •§ 12. Собственные векторы линейного оператора
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
- •Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р
- •§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы
- •Некоторые свойства жордановой матрицы
Свойства собственных векторов
1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.
► Предположим, что некоторому собственному вектору соответствуют два разных собственных значения и ( ). Тогда
. (4.42)
По шестому следствию § 1 гл. 3, из (4.42) следует, что , что противоречит определению собственного вектора.◄
2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.
►Пусть , , …, – собственные векторы линейного оператора с собственными значениями соответственно, причем при . Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
a) . Предположим, что векторы линейно зависимы. Тогда один из них можно выразить через другой, например, . Имеем
,
откуда получаем, что (так как , ), а значит, , что противоречит определению собственного вектора.
б) Предположим, что утверждение справедливо для (n–1)-го вектора и докажем его справедливость для n векторов. Пусть собственные векторы с различными собственными значениями линейно зависимы. Значит, один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных, например:
. (4.43)
Так как , получаем
. (4.44)
По предположению индукции, векторы , , …, линейно независимы. Поэтому из (4.44) вытекает, что , Так как , то при . Но тогда из (4.43) видно, что , что противоречит определению собственного вектора.◄
3º. Множество всех собственных векторов линейного оператора с одним и тем же собственным значением вместе с нулевым вектором является подпространством линейного пространства V.
►Заметим, что состоит из всех векторов, удовлетворяющих условию (4.42), т.к. при любом . Докажем замкнутость относительно операций, заданных в V. Действительно,
{ } { ; }
{ } { };
{ } { } { } { }.
На основании теоремы 3.4, – подпространство линейного пространства V.◄
4º. Пусть – линейный оператор, – его различные собственные значения. Обозначим
и .
Тогда в существует линейно независимых собственных векторов оператора .
►В каждом из подпространств выберем линейно независимых векторов и покажем, что система
– (4.45)
линейно независима. Для этого составим ее линейную комбинацию и приравняем :
. (4.46)
Обозначим . Тогда (4.46) примет вид
,
откуда вытекает, что система линейно зависима. Поэтому на основании свойства 2º не все из векторов являются собственными, т. е. среди них есть нулевые. Пусть, например, . Это означает, что (объясните, почему), и что . Теперь видим, что система линейно зависима. Значит, и среди этих векторов есть нулевые. Пусть, например, со всеми вытекающими отсюда последствиями. После конечного числа шагов получаем, что в (4.46) все коэффициенты , откуда и следует линейная независимость системы (4.45).◄