§ 9. Образ и ядро линейного оператора

Определения. Образом линейного оператора называется подмножество линейного пространства :

.

Ядром линейного оператора называется подмножество линейного пространства :

.

Теорема 4.10. Образ линейного оператора является подпространством пространства , а его ядро – подпространством пространства .

Упражнение. Докажите теорему 4.10.

Размерность подпространства называется рангом оператора и обозначается , а размерность подпространства называется дефектом и обозначается .

Теорема 4.11. Если – линейный оператор, то

. (4.29)

►Обозначим . Так как – подпространство пространства , то . Рассмотрим сначала случай, когда . Выберем в какой-либо базис

. (4.30)

По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса

(4.31)

пространства . Обозначим . Очевидно,

– (4.32)

базис пространства . Докажем, что . Действительно,

где , а . Таким образом, . Покажем, что сумма прямая. Пусть . Тогда можно разложить как по базису (4.30), так и по базису (4.32): и . Получаем

,

откуда в силу линейной независимости (4.31) вытекает, что . Поэтому , а значит, сумма действительно прямая.

Покажем теперь, что . Построим отображение

.

Очевидно, – линейный оператор. Кроме того, такой, что . Так как , то где , . Тогда. . Таким образом, такой, что . Предположим, что таких векторов два, т. е. что , но . Имеем

.

Отсюда вытекает, что . Но , следовательно, , и поэтому . Итак, мы показали, что – взаимно однозначное отображение, следовательно, и изоморфизм. Так как изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то , откуда и вытекает доказываемое утверждение.

Рассмотрим теперь тривиальные случаи. Пусть , значит, . Тогда , . Если же , то . В обоих случаях равенство (4.29) выполняется. ◄

Следствие. Если – линейный оператор, то (т. е. ). Если же оператор – невырожденный, то , следовательно, (т. е. ).

§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов

Пусть - линейный оператор,

– (4.33)

базис пространства , а

– (4.34)

базис пространства . Аналогично тому, как определялась матрица линейного оператора пространства в себя в заданном базисе, определяется и матрица оператора в паре базисов (4.33) и (4.34). Найдем образы векторов базиса (4.33):

, (4.35)

каждый из них разложим по базису (4.34), обозначим координатный столбец вектора в базисе (4.34), , и составим систему

(4.36)

из этих координатных столбцов.

Матрицей линейного оператора в паре базисов (4.33) и (4.34) называется матрица , составленная из координатных столбцов образов векторов базиса (4.33) в базисе (4.34). Очевидно, эта матрица имеет размеры .

Нетрудно показать, что при умножении линейных операторов их матрицы в соответствующих парах базисов перемножаются, как это было доказано для случая линейных операторов пространства в себя.

Теорема 4.11. Пусть – линейный оператор, A его матрица в паре базисов (4.33) и (4.34). Тогда .

►В § 3 третьей главы мы показали, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы в некотором базисе. Поэтому максимальное число линейно независимых элементов в системах (4.35) и (4.36) будет одинаковым. Обозначим это число .

Так как каждый из векторов можно разложить по базису (4.33), то . Следовательно, . Тогда

[теорема 3.5] = =

= [теорема 3.6] = .◄

Следствие. Если – изоморфизм, то матрица A – невырождена.

Теорема 4.12. Пусть и – линейные операторы. Тогда , причем если один из операторов – изоморфизм, то ранг произведения равен рангу второго оператора.

►Обозначим . Нетрудно убедиться, что – подпространство пространства , и поэтому . Тогда

= ;

= .

Кроме того, если – изоморфизм, то

.

Если же – изоморфизм, то

.◄

Следствие. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Причем, если один из сомножителей – матрица невырожденная, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.