- •Глава 4. Линейные операторы
- •§ 1. Понятие отображения
- •3. Такой, что
- •§ 2. Определение линейного оператора и его простейшие свойства
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •§ 3. Матрица линейного оператора Определение матрицы линейного оператора
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •§ 4. Геометрический смысл определителя линейного оператора
- •§ 5. Операции над линейными операторами
- •§ 6. Невырожденные линейные операторы
- •§ 7. Обратный линейный оператор
- •§ 8. Изоморфизм линейных пространств
- •Свойства изоморфизма
- •§ 9. Образ и ядро линейного оператора
- •По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса
- •§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов
- •§ 11. Линейные формы
- •§ 12. Собственные векторы линейного оператора
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •§ 14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду
- •Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем р
- •§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы
- •Некоторые свойства жордановой матрицы
§ 3. Матрица линейного оператора Определение матрицы линейного оператора
Пусть в линейном пространстве над полем задан базис
(4.8)
и пусть – линейный оператор (читается так: в себя). Построим систему векторов
( ). (4.9)
Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):
(4.10)
Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:
. (4.11)
Расположим числа в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:
Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим
[ ] = .
Равенство (4.11) можно переписать и так: , откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4.11) записываем в матричном виде:
. (4.12)
Матрицей линейного оператора в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица , элементы которой удовлетворяют системе равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (4.12).
Примеры
1. Матрицей нулевого оператора в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора также в любом базисе является матрица единичная.
2. Пусть . Составим матрицу оператора проектирования на ось Ox в базисе . Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:
.
3. Составим матрицу оператора поворота плоскости на угол (см. § 2) в базисе . Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что
Тогда
.
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Итак, если в пространстве задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n-го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.
Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P. Обозначим вектор, координатный столбец которого в базисе (4.8) совпадает с i-м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов
( )
Согласно теореме 4.1, существует единственный линейный оператор такой, что . По определению матрица этого оператора в базисе (4.8) совпадает с А.
Обозначим – множество всех линейных операторов линейного пространства над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в задан базис, то определяется отображение
,
которое ставит в соответствие каждому линейному оператору его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.