§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы
Определение.
Жордановой клеткой
-го
порядка называется матрица
-го
порядка вида
.
(4.62)
У жордановой клетки все диагональные элементы одинаковые, диагональ, параллельная главной и расположенная над ней, состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю. Характеристический многочлен жордановой клетки (4.62) выглядит так:
.
Таким
образом, жорданова клетка
имеет единственное характеристическое
число
,
причем его кратность равна порядку этой
клетки.
Пусть матрица
линейного оператора
в некотором базисе
пространства
совпадает
с жордановой клеткой (4.62). Тогда:
.
Отсюда видно, что первый вектор этого базиса – собственный с собственным значением , а остальные – присоединенные к нему.
Определение.
Жордановой матрицей
называется блочно диагональная матрица,
диагональными блоками которой являются
жордановы клетки:
.
Теорема
4.16. Для любой
комплексной квадратной матрицы А
существует
невырожденная матрица Т
такая, что матрица
– жорданова (без доказательства).
Матрица
называется жордановой
нормальной формой
матрицы А.
Жорданова
нормальная форма матрицы определяется
однозначно с точностью до порядка
следования клеток.
Замечание. Жорданова нормальная форма действительной матрицы А может оказаться матрицей комплексной. Она будет действительной в том и только в том случае, когда все характеристические числа матрицы А – действительные.
Некоторые свойства жордановой матрицы
1. Характеристический многочлен жордановой матрицы равен произведению характеристических многочленов составляющих ее жордановых клеток.
2. Диагональными элементами жордановой матрицы являются ее характеристические числа или собственные значения, что для комплексной матрицы одно и то же.
3. Сумма размерностей всех клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равна кратности этого собственного значения.
4. Число клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением.
5.
Число клеток порядка не ниже
,
соответствующих данному собственному
значению, равно количеству линейно
независимых собственных векторов с
этим собственным значением, имеющих
-е
присоединенные векторы.
Доказательства этих свойств не приводим.
Пример 1. Найдем жорданову нормальную форму матрицы
.
▼1. Составляем характеристический многочлен матрицы А:
.
Таким
образом, А
имеет единственное собственное значение
,
причем кратность его равна 4.
2. Находим собственные векторы:
–6
–16
.
Общее решение системы:
.
(4.63)
Число линейно независимых собственных векторов равно двум, значит, жорданова форма имеет две клетки.
3. Находим присоединенные векторы:
–6
–16
.
(4.64)
Система
(4.64) имеет решения при любых значениях
и
,
поэтому любой собственный вектор имеет
присоединенный. Таким образом, обе
клетки имеют второй порядок, и жорданова
форма выглядит так:
.
(4.65)
4.
Матрица Т,
приводящая А
к виду
,
– это матрица перехода от исходного
базиса к базису, в котором матрица
оператора совпадает с
.
Из (4.65) видно, что
,
т. е.
и
– векторы собственные, а
и
– присоединенные к ним. Чтобы найти
и
,
записываем фундаментальную систему по
решению (4.63):
.
Векторы
и
– частные решения системы (4.64) при
соответствующих значениях
и
,
т. е.
– решение системы
,
а – системы
.
Например,
.
Таким образом,
.▲
Пример 2.
.
▼ Проведем вычисления по тому же плану, что и в первом примере.
1
.
.
Таким
образом,
.
2.
;
.
,
следовательно, число линейно независимых
собственных векторов равно двум, значит,
матрице
имеет две клетки.
3.
(4.66)
Система
(4.66) имеет решение только в том случае,
когда
.
Поэтому только один из собственных
векторов имеет присоединенные. Значит,
одна из клеток будет иметь первый
порядок, а вторая – третий.
.
4.
;
.
Находим
и
– присоединенные векторы к
:
,
;
.▲