§ 7. Обратный линейный оператор
Теорема
4.7. Для любого
невырожденного линейного
оператора
существует единственный обратный
оператор
,
который также является линейным. При
этом, если А
– матрица
оператора
в некотором
базисе, то матрица оператора
в том же базисе совпадает с матрицей
.
►Единственность.
Пусть некоторый
оператор
имеет два разных обратных:
и
.
Тогда
– противоречие.
Существование.
Пусть А
– матрица оператора
в некотором базисе. Тогда, по теореме
4.4
,
значит, существует
.
Обозначим
–
тот линейный оператор, матрица которого
в выбранном базисе
совпадает
с
.
Так
как
,
и так как произведению матриц соответствует
произведение операторов, то
,
и, таким образом,
.◄
Замечание. Можно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.
§ 8. Изоморфизм линейных пространств
Определение.
Изоморфизмом
линейных
пространств называется взаимно
однозначный линейный оператор. Если
существует изоморфизм
,
то линейные пространства
и
называются изоморфными. Изоморфизм
обозначается так:
.
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Свойства изоморфизма
1.
– рефлективность (изоморфизм осуществляет
тождественное отображение).
2.
– симметричность (если первый изоморфизм
осуществляет с помощью отображения f,
то второй – с помощью
).
3.
{
,
}
– транзитивность (если первый изоморфизм
осуществляется с помощью отображения
,
второй –
,
то третий изоморфизм осуществляется с
помощью отображения
).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть
и пусть
– изоморфизм. Выберем в
какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис
пространства
.
Действительно, в силу взаимной
однозначности f,
единственный
такой, что
.
Тогда, если
,
то
.
Значит, (4.28) – система образующих в
.
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность
f]
[взаимная
однозначность f
]
[линейная независимость (4.27)]
{(4.28) – линейно независима}.
Таким
образом, (4.28) – базис в
,
а значит,
.
◄
Теорема 4.9. Все n-мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n-мерное линейное пространство над полем Р.
►а)
Докажем, что
.
Выберем
в
какой-либо базис
.
Тогда
:
.
Обозначим
.
Очевидно, отображение
– взаимно однозначное. Кроме того,
,
:
:
Поэтому
f –
линейный оператор, а значит, и изоморфизм.
Итак,
.
б)
Пусть теперь
и
– n-мерные
линейные пространства над одним и тем
же полем Р.
Тогда
{
и
}
[симметричность]
{
и
и }
[транзитивность]
{
}.◄
Таким
образом, мы показали, что с точки зрения
математики единственным n-мерным
линейным пространством над полем Р
является
.