§ 5. Операции над линейными операторами
Определения.
Пусть
и
– линейные пространства над одним и
тем же полем
.
Суммой
линейных операторов
и
называется отображение
такое, что
:
.
Произведением
линейного оператора
на число
называется отображение
такое, что
:
.
Произведением
линейных операторов
и
называется отображение
такое, что
:
(т. е. произведение линейных операторов
– это просто произведение или композиция
отображений).
Теорема
4.3. Сумма
линейных операторов, произведение
линейного оператора на число и произведение
линейных операторов также являются
линейными операторами. При этом, если
,
А
и В
– матрицы линейных операторов f
и g
соответственно в некотором базисе
пространства
,
то матрицы операторов
,
и gf
в том же базисе совпадают соответственно
с матрицами А
+ В, αА
и ВА.
►Доказательство проведем для произведения линейных операторов.
Пусть и – линейные операторы. Тогда
=
[линейность f
] =
=
=[
линейность g
] =
=
;
.
Таким образом, gf – линейный оператор.
Пусть
– матрицы линейных операторов
и
соответственно в базисе
пространства
,
и пусть
– матрица оператора gf
в том же
базисе. Тогда по определению матрицы
линейного оператора
.
(4.25)
С другой стороны,
[линейность
g]
=
(4.26)
Сравнивая
(4.25) и (4.26), на основании единственности
координат вектора в данном базисе делаем
вывод:
,
откуда и получаем матричную запись: С
= ВА.◄
Упражнение. Докажите, что множество
– линейный}
всех
линейных операторов пространства
в пространство
есть линейное пространство над тем же
полем, что и пространства
и
,
относительно
введенных операций сложения линейных
операторов и умножения их на число.
Найдите размерность
.
§ 6. Невырожденные линейные операторы
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть
А –
матрица линейного оператора
в некотором базисе, Х,
как обычно, координатный столбец вектора
в том же базисе. Тогда
{f
– невырожденный}
{однородная
система линейных уравнений AX
= O
имеет единственное тривиальное решение}
{
}.
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
{
невырожденный}
{
система
имеет единственное решение}
{
единственный
,
что
}
{
единственный
,
что
}
{f
– взаимно однозначный}.◄
Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.
►Пусть
и
– невырожденные линейные операторы.
Тогда
{
}
{
}
{
}.
Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄