§14.4. Очень малые числа Bi (Bi®0)

Bi®0 Þ X₀®¥

q

q=1

q=0 x

Такие тела, которые охлаждаются по этому графику, называют термически тонкими телами.

либо: a®0,

d®0,

l®¥.

Нагрев или охлаждение тел при больших числах Bi³100

Bi®¥,

Т очка пересечения касательной температурных кривых ляжет на поверхность, либо все они лежат в каких-то реальных пределах.

Q

1,0

х

Bi®¥

либо a®¥,

d®¥,

l®0.

Такие тела называют термически массивными. Термическую массивность тела мы определяем по совокупности трех физических величин: a,d,l.

Реальные Bi:

1 00>Bi>0,1

Q

1,0

x

Примечание: по поведению тел в процессе нагрева легко рассчитываются тепловые режимы нагрева.

Если тело термически тонкое, то подвод теплоты к поверхности в больших, но разумных пределах легко усваивается телом и тело быстро нагревается, любое быстрое охлаждение допускается – тело быстро охлаждается. Массивные тела наоборот: массивные тела сами диктуют режимы нагрева или охлаждения.

a

¬q¬

q – поток теплоты

Границы эти Bi<0,1 и Bi>100 определяются заданной точностью вычислений. Есть процессы, где ошибка 5% не дает серьезного влияния на процесс, тогда эти границы можно считать тонкими.

Пределы определения термически тонких и термически массивных тел зависят от заданной точности.

§15. Определение количества теплоты, отдаваемое пластиной в процессе охлаждения

Количество теплоты, отданное пластиной, равно количеству теплоты затраченному на нагрев. Поэтому, рассчитав Q, можно рассчитать требуемую мощность нагревательного устройства.

t = 0 q = 0

отданное количество теплоты

q_ср t₀

оставшееся количество теплоты

вынесем

1

F₀

0

0 Bi 100

§ 16. Нагрев (охлаждение) бесконечно длинного цилиндра

t – температура

t₀ ГУ III рода r₀ – радиус цилиндра

t_ж =const a = const Дано : r₀, l, t_ж=const ,a=const

r

r₀

Характеристическое уравнение для цилиндра (решается графически):

J(m) – функция Бесселя первого рода.

J₀(m_i) – нулевой порядок; J₁(m_i) – первый порядок.

1 J₁(m)

J₀(m)

m

-1 m/Bi - относительный радиус

Для цилиндра

Все выводы, сделанные относительно решения для пластины справедливы и для цилиндра, только критическое значение Fo_кр=0.25, а не 0.3, как у пластины.

При Fo>0.25 ряд становится быстросходящимся можно обойтись первым слагаемым.

1 ,0

BBИи Bi

0 F₀

Расчет температур в цилиндре происходит также, как и для пластин.

§17. Шар

t_ж=const a=const Дано: r₀ , l,

r ГУ III рода t_ж=const, a=const

r₀ t=f(x,r)-?

- уравнение теплопроводности

Характеристическое уравнение шара:

Fo ³ Fo_кр Fo_кр=0,2

D_i зависит от (Bi)

зависит от (Bi,R) exp(-m_i² Fo) зависит от (Bi,F₀)

Для поверхности шара, для оси (центра) и для других промежуточных координат построены номограммы:

1,0

Bi=1,0

0 F₀

Количество теплоты определяется по номограмме:

Вывод:

1. Рассмотренные три тела, простейшей формы (безграничная пластина, бесконечный цилиндр и шар) позволяют определить общие закономерности передачи теплоты в этих телах.

2. В практических задачах пытаются задачу привести к этим классическим телам. Это значит, что при нагреве пластины реальных размеров её пытаются привести к безграничной пластине, т.е. поток теплоты настолько слаб, что не оказывает влияние на температурное поле в рассматриваемом сечении.

В отличие от физического понимания безграничности пластин у теплофизиков безграничность связана с тепловыми процессами (оказывает или не оказывает влияние на температуру). Если пренебречь размерами пластины в направлении осей z и нельзя, то применяется специальный метод: «Теорема о перемножений решений».