§3 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Получение конкретного вида функции зависит от протекания процесса теплоты. Чтобы найти функцию, необходимо дать полное математическое описание этому процессу, т.е. сформировать математическую модель процесса.

Есть много методов, мы рассмотрим метод математической физики. Основы: от глобального рассмотрения переходит к рассмотрению на элементарно малых отрезках, это даёт возможность рассматривать процесс в точке, при этом многие переменные величины можно представить постоянными, что позволяет применить всю мощь математического аппарата.

Выделим в объёме вещества или среды объём dV=dxdydz, расположим его удобно, рисунок 4.

X

Z

dQ_x+dx

dQ_z+dz

dQ_y+dy

Допущения:

1. Физические свойства в объёме dV вещества или среды постоянны: ρ,с,λ=const

2. Расширением объёма с изменением температуры пренебрегаем dV≠f(t)

3. Вещество или среду будем считать в объёме dV сплошной, не дискретной.(Сплошное вещество называется континуумом)

4. Вещество или среда однородно и изотропно.

В объёме dV посредством теплопроводности попадает тепло

это тепловой баланс объёма dV, с другой стороны это закон сохранения энергии.

dQ₂=q_v*dV*d [Дж]

[q_v]= =const

Разложим неизвестную функцию q_x+dx в ряд Тейлора

на входе

на выходе

остаток в направлении оси Y:

остаток в направлении оси Z:

приход теплоты:

Если в направлении оси X плотность теплового потока убывает, то тогда выйдет поток меньше, чем вошёл; тогда остаток будет положительным dQ_x>0, но

Плотность теплового потока – векторная величина:

Некоторое количество теплоты dQ, подведённое к объёму dV за время d теплопроводностью dQ₁, привело к изменению температуры вещества в объёме dV

Применим закон Фурье

; ;

; ;

§4. Методы решения уравнения Фурье

Решить уравнение Фурье- это значит семикратное его интегрирование: дважды по пространственным координатам (по каждой ) и по времени. Результатом интегрирования должна быть функция t=¦(x,y,z,t). При каждом интегрировании появляются произвольные константы. Произвольность постоянных заключается в том, что каждое интегрирование дает решение для целой группы задач, а это неопределенность. Чтобы из этой группы выделить интересующую нас задачу, нужно к дифференциальному уравнению добавить условия однозначности. Математически условия однозначности означают конкретизацию констант интегрирования а физически это означает, что из бесчисленного множества решений которые описывают данное дифференциальное уравнение мы выделяем конкретную задачу. Условия однозначности поделим на 4 группы (так удобно).

1. Физические условия задачи(теплофизические условия) l,r,b,c… мы должны знать всё о физических константах вещества

2. Геометрические условия: задаются все геометрические размеры рассматриваемой системы, её форма и ориентация в пространстве l₁, l₂,…,l_m.

3. Граничные условия: условия обмена теплотой тела с окружающей средой на физических границах(этой границей может быть фиктивная поверхность мысленно выделяемая в теле). t_пов=¦(x,y,z,t)

4. Начальные условия: t_t=0=¦(x,y,z)-для начального момента времени.