50. Опр.Инт. С переем. Верхним пределом.Ф-ла Ньютона-Лейбница

Пусть ф-я f(x)непрерывна на[a,b],тогда она интегрир на люб. Отр.[a,x]

гдеxэ[a,b]т.е.для всех xэ[a,b] имеет смысл интеграл

.Рассмотрим ф-ю ,к-ая опред на

[a,b] и а назыв. Интегр. С перемен. Верхним пределом показ.Т1

«пусть ф-я y=f(x) непрер.на[a,b],тогда произ. Сущ. В каждой точке

. Xэ[a,b] и равна .Т.о. -интеграл с переем. Верхн.

пределом,является первообр.дляф-и f(x).А т.к. всякая др. первообр

для ф-и f(x) может отлич.от первообр. (x) только на постоян

то устанавл. связь м/у определ. И неопредел. интегралом

,С-пост.Предполож.,чтоF(x)

первообр. К ф-и (x)Т.к. первообр. (x)и F(x) отлич.от постоян

,то получ ,xэ[a,b],C-постоян

Подставляя в это равенство x=a находим:

,F(a)+C=0,C=-F(a)

Положив последнее равенство x=b находим

получаем формулу Ньют-Лейбн

Значит

53,56. Понятие числового ряда и его сходимость.

Пусть задана последовательность чисел {U_п}_п=1. Составим новую последовательность чисел {S_п}_п=1, по след. правилу: S₁ = U_1, S₂= U₁ ≠ U₂ , …, S_п = U₁ + U₂ + … + U_п , …

Пара последовательн. {U_п} _п=1 и {S_п} _п=1 наз. числовым рядом с общим членом U_п и обозначается:∑ U_{n =} U₁ + U₂ + … + U_n , … (1)

ⁿ⁼¹Элементы исходной {U_п} наз. членами ряда (1), а элементы {S_п} – частными суммами ряда (1). При этом {U_п} назыв. – энным (общим) членом ряда, а конечная сумма {S_п} – энной суммой ряда.

Числ. ряд (1) наз. сходящимся числовым рядом, если существ. конечный придел limS_п = S,

называемый суммой ряда. Если же предел последоват. {S_п}не существ., то ряд называется расходящимся.

Замечание1. символ ∑ U_п употребляется для обознач. самого ряда (1), а также для обозн. его суммы, если ряд сходится . ^{п = 1}Ряд, членами кот. являет. члены ряда (1), начиная с _п+1 , взятый в том же порядке, что и в исходном ряде назыв. п –остатком ряда (1) и обознач.::∑ U _{k =} U_{n +1} + U_n+2 + …

Теорема 1 (необходимый признак сходимости): если ряд (1) сходится, то limU_п = 0. Следстие 1: если limU_п = а, а≠0, то ряд (1) расходится

Основные св-ва сходящихся рядов

1.Если ряд (1) ∑ U_п сходится, то сходится и ряд ∑ С _*U_п , С= сопst. Причем, ∑ С U_п = С ∑ U_п

2. Если ряды ∑ U_п и ∑ υ _п сходяться, то сходится и ряд

∑( U_п + υ _п), причем ∑( U_п + υ _п) = ∑ U_п + ∑ υ _п

3. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток.

4. Если к.л. остаток ряда сходится, то и сам ряд также сходится. Причем:

∑ U_п = ∑ U_п + ∑ U_п , где 1-н слагаемоеэто S_п - п-частная сумма, а 2-е слагаемое r_п – п-остаток ряда.

5. Некоторые замечательные ряды:

а) гамионич. ряд: ∑ - расходится

б) Обобщенный гармоничный ряд: ∑ - сходится, при λ>1 ¹ расходится, при λ≤

в) Геометрич. ряд ∑ q , | q | < 1 - сходитс | q | ≥ 1 – расходится