27. Критерий компланарности трех векторов.

Утверждение 3. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

. (1)

Доказательство. Если компланарны, то из утверждения 1 получаем , т.е. (1) имеет место.

Пусть теперь выполняется равенство (1) и покажем, что векторы компланарны. Действительно, если бы векторы были некомпланарны, то по утверждению 1 их смешанное произведение что противоречит (1) Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов. Пусть векторы заданы своими координатами: Тогда

По формуле (8.9) имеем:

Далее по формуле (7.8) для скалярного произведения получаем:

или

(2)

Таким образом, смешанное произведение равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят соответствующие координаты перемножаемых векторов

32. Числовая последовательность. Пусть – множество натуральных чисел. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что определена числовая последовательность . Числа , называют элементами или членами последовательности. Числовую последовательность (в дальнейшем – последовательность) будем еще записывать в виде , а выражение называть общим членом последовательности, n – номером члена.

Последовательности встречались в курсе средней школы. Например, бесконечная геометрическая прогрессия 1, q, …, qⁿ,…, является числовой последовательностью.

Последовательности , , , называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей { } и { } (для частного , ).

Простым способом задания последовательности является аналитический способ, т.е. задание с помощью формулы n-го члена:

. (1)

Формула (1) позволяет определить любой член последовательности по номеру n.

Так, равенства

задают соответственно последовательности

, , , .

Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью. Так, например, последовательность с общим членом , , имеет вид 1, 1,…, 1,….

Другой способ задания числовых последовательностей – рекуррентный. Задается начальный элемент x₁ (первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (n–1)-му: . Таким образом, , и т.д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать 99 предыдущих.

33. Предел числовой последовательности. Число a называется пределом последовательности { }, если такое, что и обозначается .

Геометрически это означает, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говоря, от ).

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Для того, чтобы число а было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы имело вид , где – бесконечно малая последовательность.2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Пусть и .

Тогда: а) ;

б) ;

в) (при условии, что ).

Утверждение (теорема о двух милиционерах или о сжатой последовательности). Пусть даны три последовательности , , и, начиная с некоторого номера , , причем последовательности и имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность также имеет предел а.