- •3 Общее уравнение прямой.
- •4. Линии второго порядка
- •4.Эллипс и его каноническое уравнение
- •5.Гипербола
- •6.Парабола
- •7,8,9Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Транспонирование матриц.
- •10. Понятие определителя свойств.
- •11.Способы построения обратной матрицы.
- •17. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •21. Прямоугольные декартовы координаты вектора.
- •27. Критерий компланарности трех векторов.
- •34. Монотонные последовательности
- •38. Основные св-ва пределов функций.
- •39. Замечательные пределы
- •II Замечательный предел
- •42. Дифференциал ф-ции и геом.Смысл
- •43. :Основные теоремы диференц. Вычисления
- •45. .Первообразная функция и неопределенный интеграл.
- •50. Опр.Инт. С переем. Верхним пределом.Ф-ла Ньютона-Лейбница
- •53,56. Понятие числового ряда и его сходимость.
17. Решение однородных систем линейных уравнений.
Однородная система уравнений
(1)
есть частный случай системы (10.1). Легко видеть, что система (1) всегда имеет нулевое решение , и поэтому она совместна. Нулевое решение является единственным тогда, когда ранг матрицы системы равен количеству неизвестных n. В частности, это справедливо для невырожденной системы n уравнений с n неизвестными. Если ранг матрицы А системы (1) меньше n, то однородная система (1) будет иметь ненулевые решения. Например, однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения в том случае, если она вырождена.
18. Понятие вектора. По аналогии со школьным курсом геометрии дадим геометрическое толкование вектора, как направленного отрезка (п. 1.10) на плоскости или в пространстве.
Связанным вектором с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок АВ, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора называют еще точкой его приложения.
Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, . Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1).
Е сли для направленного отрезка АВ фиксируются только длина и направление (при произвольности его положения на плоскости и в пространстве), то он называется свободным вектором.
Длина отрезка АВ называется также длиной вектора . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается или просто 0.
Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при этом пишут .
Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые и одинаково направлены, и противоположно направленными, если эти полупрямые противоположно направлены.
Отметим, что коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены, см. рис. 2б)) или противоположно направлены (см. рис. 2а)).
Векторы и называются равными ( ), если выполнены два условия:
а) ;
б) и одинаково направлены.
Векторы, имеющие противоположные направления и равные длины, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается . На рис. 2а) изображены противоположные, а на рис. 2б) – равные векторы и .
Из определения равенства векторов следует, что каков бы ни был вектор и точка О, всегда можно построить единственный вектор с началом в точке О, равный вектору , или, как говорят, отнести начало вектора к точке О (см. рис. 3). Такие векторы в аналитической геометрии называют свободными: их можно отнести к общему началу.Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось и некоторый вектор . Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные данной оси и обозначим через и точки пересечения этих плоскостей с осью (рис.4). В общем случае векторы расположены на скрещивающихся прямых. Для наглядности изображений далее, как правило, будут рассматриваться рисунки на плоскости.
Рис. 4 Рис. 5а) Рис. 5б)
Проекцией вектора на ось называется величина на оси , которая обозначается .
Согласно пункту 1.10, имеем: , если направление совпадает с направлением оси ; , если направление противоположно направлению оси .
Покажем, что имеет место равенство
, (1)
где – угол между вектором и положительным направлением оси .
19. Координаты вектора. Пусть в пространстве задана декартова система координат и произвольный вектор . Обозначим: и назовем эти числа (проекции вектора на оси координат) координатами вектора . Будем писать (символ для краткости, как правило, далее опускаем).
Докажем, что для любых точек и координаты вектора определяются формулами:
. (2)
Длина вектора. Рассмотрим произвольный вектор считая, что его начало совпадает с началом координат . Пусть вектор не лежит ни в одной координатной плоскости.
Через точку А проведем плоскости, которые перпендикулярны осям координат и вместе с координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого будет отрезок ОА (рис. 7).
Известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, т.е.
.
Но
Тогда имеем или
. (3)
Формула (3) выражает длину вектора через его координаты и справедлива и в том случае, если вектор будет лежать в какой-либо координатной плоскости (тогда в (3) одна из координат будет равна нулю).
Пример 1. Даны две точки и Найти расстояние между ними.
Решение. Определим расстояние между точками А и В, как длину вектора
. □ (4)
Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы между вектором и осями координат (рис.7). Из формул (1) и (3) получаем:
(5)
Числа называются направляющими косинусами вектора .
Возводя в квадрат каждое из равенств (5) и складывая полученные результаты, получим
(6)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
20. Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Пусть даны два вектора и . Суммой называется вектор, который имеет началом начало вектора и концом – конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (или диагональ параллелограмма, построенного на векторах и ).
Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов и можно найти по правилу треугольника (рис. 8а)) или параллелограмма (рис. 8б)).
Рис. 8а) Рис. 8б)
По определению суммы двух векторов можно найти сумму любого числа заданных векторов. В частности, пусть заданы три вектора и . Сложив и , получим вектор Прибавив к нему вектор , получим вектор
Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Пусть даны вектор и число Произведением называют вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как и вектор , если , и противоположное, если (рис. 9). Если среди сомножителей есть 0, то под произведением понимается нулевой вектор.
Геометрический смысл операции умножения вектора на число следующий: если , то при умножении вектора на число вектор «растягивается» в раз, а если – «сжимается» в раз. На рис. 9 изображен случай .
Утверждение 1. Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , что .