- •3 Общее уравнение прямой.
- •4. Линии второго порядка
- •4.Эллипс и его каноническое уравнение
- •5.Гипербола
- •6.Парабола
- •7,8,9Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Транспонирование матриц.
- •10. Понятие определителя свойств.
- •11.Способы построения обратной матрицы.
- •17. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •21. Прямоугольные декартовы координаты вектора.
- •27. Критерий компланарности трех векторов.
- •34. Монотонные последовательности
- •38. Основные св-ва пределов функций.
- •39. Замечательные пределы
- •II Замечательный предел
- •42. Дифференциал ф-ции и геом.Смысл
- •43. :Основные теоремы диференц. Вычисления
- •45. .Первообразная функция и неопределенный интеграл.
- •50. Опр.Инт. С переем. Верхним пределом.Ф-ла Ньютона-Лейбница
- •53,56. Понятие числового ряда и его сходимость.
21. Прямоугольные декартовы координаты вектора.
Рассмотрим декартову систему координат Охуz. Пусть – единичные векторы соответствующих осей координат Ох, Оу, Оz, т.е. и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (рис. 1). Тройка векторов называется базисом.
Теорема 1. Любой вектор можно единственным образом разложить по базису , т.е. представить в виде
, (1)
где - числа
22. Определение скалярного произведения, его свойства и механический смысл. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов и нулевой, то скалярное произведение равно нулю.
Таким образом,
(4)
где – угол между векторами и (рис. 2).
Скалярное произведение обозначают символом , или , или .
По формуле поэтому выражение (4) можно записать:
.(5)
Для скалярного произведения векторов справедливы следующие свойства:
1) – коммутативность;
2) – ассоциативность, ;
3) – дистрибутивность;
4) .Доказательство. Коммутативность скалярного произведения непосредственно вытекает из формулы (4).
Докажем свойство 2). С учетом формул (5) , будем иметь
(6)
Доказательство свойства 3). По формуле (5)
(7)
Согласно формуле (),
.
Таким образом, с учетом (7) и формулы (5), получаем
Для доказательства свойства 4) заметим, что по формуле (4) , если , т.е. если . Если же , то также, по определению скалярного произведения, Но, тогда и, поэтому, равенство в случае также справедливо. □
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . На основании свойства 4) имеем: , отсюда, в частности,
Из свойств 1) и 2) вытекает, что
.(8)
Из свойства 3) следует, что при скалярном умножении векторных многочленов можно выполнять действия почленно и, в силу (8), объединять коэффициенты векторных сомножителей
23. Перпендикулярности двух векторов. Сформулируем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.
Свойство 5). Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть и . Тогда
Достаточность. Пусть и Используя формулу (4), получаем лишь если или . Значит, . □
Из равенства (4) получаем формулу для определения косинуса угла между ненулевыми векторами:
.(9)
Отметим, что из свойств 4) и 5) для базисных векторов непосредственно получаем следующие равенства:
Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Если векторы и заданы своими координатами: , то их скалярное произведение вычисляется по формуле
.(11)
Доказательство. Разложим векторы и по базису согласно формуле (4):
Тогда
(12)
Из формулы (8) и свойства 5) вытекает необходимое и достаточное условие перпендикулярности ненулевых векторов и : сумма произведений одноименных координат этих векторов равна нулю, т.е.
.
24. Ориентация тройки векторов в пространстве. Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. В записи вектор считается первым, – вторым, – третьим; в записи вектор – первый, – второй, – третий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется левой.
25. Векторное произведение двух векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторным произведением векторов и называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, который перпендикулярен перемножаемым векторам и направлен так, что векторы образуют правую тройку векторов (рис. 1).
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.
Из определения векторного произведения следует, что (рис.1)
, (1)
где – угол между векторами и , S – площадь параллелограмма.
Векторное произведение двух векторов и обозначают символом
, или , или .
Выясним физический смысл векторного произведения. В физике момент силы с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором , перпендикулярным плоскости, в которой лежат точка О и вектор (рис. 2), таким, что тройка векторов – правая. Длина вектора определяется как произведение длины вектора на плечо , где – расстояние от точки О до прямой, на которой лежит вектор силы , т.е. , или – радиус–вектор точки приложения силы . Таким образом, момент силы относительно некоторой точки , есть векторное произведение радиус–вектора точки приложения силы на вектор силы : .
Свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е.
. (2)
Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то равенство (2) очевидно, т.к. и – нулевые векторы.
Пусть и неколлинеарны. Из определения векторного произведения вытекает, что векторы и имеют одинаковые длины и коллинеарны, но направлены противоположно (рис. 3), т.к. векторы и образуют правые тройки. Значит, . □
2. Ассоциативность:
. (3)
Для доказательства равенства (3) используем следующие рассуждения. Векторы и имеют одинаковую длину, т.к. при получаем
при имеем
где Кроме того, рассматриваемые векторы одинаково направлены (рис. 4). Действительно, при оба имеют то же направление, что и вектор , а при – противоположное. Если , то равенство (3) очевидно
26. Определение смешанного произведения векторов, его свойства и геометрический смысл. Пусть даны три вектора и . Умножим вектор векторно на , а полученный вектор умножим скалярно на и тем самым определим число . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов Смешанное произведение обозначают также , или , или .
Выясним геометрический смысл смешанного произведения.
Утверждение1.Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком «+», если тройка – правая, со знаком «–», если тройка – левая. Если же компланарны, то
Доказательство. Пусть даны некомпланарные векторы , образующие правую тройку. Обозначим через объем параллелепипеда, построенного на этих векторах; через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а через h – высоту параллелепипеда (рис.1). Тогда из определения векторного и скалярного произведений получаем , где – угол между векторами и , а – угол между векторами и
Так как то Если же тройка – левая, то и
Рассмотрим теперь случай компланарных векторов . Если то, очевидно, Пусть Тогда либо если векторы и коллинеарны, либо если и неколлинеарны. В любом случае, ☐
Из утверждения 1 вытекает, что абсолютная величина остается той же, независимо от порядка сомножителей Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным. Это зависит от того, образуют перемножаемые векторы, взятые в указанном порядке, правую или левую тройку.
Таким образом, получаем следующее свойство смешанного произведения.
Утверждение 2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, т.е.