30.Стандартная ошибка точечной оценки
Стандартная ошибка точечной оценки – среднее квадратическое отклонение от точечной оценки.
S=σ(
).
=1/n*Σxi.
=
,
D(
)=1/n2*ΣD(xi)
= 
=σ2/n.
M(xi)=a;
D(xi)=
σ2;
2=1/n-1*Σ(xi-
)2;
(
)=1/n(n-1)*
Σ(xi-
)2
S=
32. Доверительные интервалы.
Оценка неизвестного параметра, которая задается двумя числами (концами интервала), называется интервальной.
Пусть по выборке получена точечная оценка θˆ неизвестного параметра . Это оценка чем точнее, чем меньше |- |.
Пусть |
-
|<
,
>0.
Методы математической статистики не позволяют на наверняка утверждать, что выполняется это неравенство. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения.
P(|
-
|<
)=
-доверительная вероятность или надежность. В качестве выбирается число близкре к 1: 0,95; 0,99;0,995 (выбирается исследователем самостоятельно).
Раскрыв знак модуля получим определение доверительного интервала
P( - < < + )=
Доверительным называется интервал ( - ; + ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . При этом - называется точность оценки.
Замечание:
Неверно говорить, что попадает в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе .
Доверительные
интервалы строятся (нужно знать закон
распределения оценки
.
Затем поступают следующим образом:
1. вычисляется точечная оценка
2. выбирается надежность
3. вычисляется точность оценки
33. Распределение х2 Стьюдента и Фишера.
1.Распределение
(хи-квадрат)
пусть
независимы и имеют стандартное нормальное
распределение. Тогда случайная величина
называется распределенной по
закону
с n
степенями свободы.
M0
M
При
n
распределение
медленно стремится к нормальному.
2.Распределение
Стьюдента
Пусть
независимы и 1
стандартное нормальное распределение,
а 2-
распределение 2
с k
степенями свободы. Тогда случайная
величина
называется распределенной по закону
Стьюдента
с k
степенями свободы.
.
При k распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному.
МТ=0
DT=
3. Распределение Фишера. Пусть независимы и имеют распределение с k1 и k2 числом степеней свободы соответственно.
Тогда
случайная величина
называется распределением по закону
Фишера с k1
и k2
числом степеней свободы.
Замечание. 1)Табличные значения cлучайной величины Фишера всегда больше 1.
.
34. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном .
Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке (x1, x2,…,xn) доверительный интервал для оценки мат. Ожидания а при заданной надежности
Несмещенной и состоятельной оценкой мат ожидания явл выборочное среднее значение
в
Значение параметра известно. В результате доверительный интервал будет иметь вид
Здесь n-объем выборки. Точность оценки
Где значение числа t находится с пом. Таблиц функции Лапласа на основании выбранной надежности из уровнения
=
,