10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
Плотностью распределения вероятностей Св называется производная функции распределения:
.
Или Р=F’(x)
Свойства плотности вероятности:
1.
,
,
так как это производная неубывающей
функции.
2.
,
3.
3.
.
4. Свойство нормировки:
.
В частности, если все возможные значения случайной величины заключены в интервале от a до b, то
.
СВ называется распределенной по равномерному закону, если ее плотность вероятности принимает постоянное значение в пределах заданного интервала, а вне этого интервала:
11. Математическое ожидание и его свойства.
Мат. Ожид. дискретной СВ называется сумма произведений всевозможных её значений на вероятности этих значений.
,
если этот ряд сходится абсолютно.
Замеч. Если мат. Ожидание равно бесконечности, то говорят, что оно не существует.
характеризует
среднее значение случайной величины,
взвешенное по вероятности.
Мат ожид.
непрерывной
СВ с
плотностью вероятности
называется интеграл
=
если он сходится абсолютно.
Свойства м
1.
,
c=const
2. М суммы СВ равно сумме их м ожиданий:
.
3. Для независимых
СВ
и
М произведения равно произведению Мат
ожиданий
=
.
Следствие Постоянный множитель выносится за знак мат. ожидания
12. Дисперсия и ее свойства.
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего мат. ожидания.
Выполним преобразования:
,
.
Для дискретной случайной величины с законом распределения (xi pi ) дисперсия равна
D=(xi-M)2 pi , или
D
=
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности дисперсия равна
.
Дисперсия характеризует рассеяние возможных значений вокруг своего математического ожидания.
Средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из дисперсии.
Свойства дисперсии
1.Дисперсия постоянной равна нулю. DC=M(C-MC)2=M(C-C)2=М(0)=0
2.
Для независимых
случайных величин дисперсия суммы
равна сумме дисперсий.
3.
Если
и
=
const,
то
Следствие
Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате
.
.
13. Коэффициент корреляции и ковариация.
Коэффициентом корреляции называется
(
1,
2)=
Свойства
1.
2. если 1 и 2 независимы, то коэффициент корреляции равен 0. Обратное не верно. Если =0, то говорят, что 1 и 2 некоррелированы.
3.если 1 и 2 связаны линейной зависимостью 2=a1+b, то в этом случае ( 1, 2)=1. Причем если а >0, то ( 1, 2)=1; если а<0, то
( 1, 2)=-1.
Если
,
то говорят, что
1
и
2
связаны
корреляционной зависимостью, тем более
тесной, чем ближе
к 1.
Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики меры линейной ависимости случайных величин.
Ковариацией случайных величин
1, 2Называется мат. Ожидание. произведения отклонений случайных величин от своих Мат ожид.
Cov( 1, 2)=M(( 1-M 1)( 2-M 2))=cov ( 1, 2)=М ( 1 ∙ 2) – М(1)М(2) (св-во мат. ожи.)
Свойства ковариации
1. cov( 1, 1)=M( 1-M 1)2=D 1
2. для независимых случайных величин ковариация равна 0
cov ( 1, 2)=М ( 1 ∙ 2) – М(1)М(2)= М(1)М(2) - М(1)М(2) =0
Обратное не верно. Можно привести пример, когда ковариация равен 0, но случайные величины зависимы.
3. Постоянный множитель выносится за знак ковариации . cov (с 1, 2)=с* cov ( 1, 2)
4.
Ковариация служит для качественной характеристикой зависимости м/у случ. вел-ми.