40. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.

Рассмотрим неск-ко критериев однородности. Пусть имеется 2 выборки X и Y объемами n₁ и n₂ и пусть ставится задача сравнить их ф-ции распр. H₀:F₁(x)=F₂(x)

Такого рода задания часто наз. выявл-ем отклика на воздействия. Наиболее хорошо разработан. явл. методы выявл-я однородности для нормально распределен. выборок. Если выборки распределены нормально, то выявл-е однородности сводится к сравнению пар-ров а и σ. Эти методы наз. параметрическ. Если о распр-нии изучаемых выборок ничего нельзя сказать, то прим-ся непараметрич. методы, где не учитыв-ся исходн. количеств. данные, а только уравнение <,>. Пусть выборки X и Y распределены нормально с пар-рами а₁ и σ₁ ; а₂ σ₂соответсвенно. X~N(а₁,σ ₁), Y~N(а₂,σ ₂). Гипотеза H₀ б. справедлива, если б. равны пар-ры а₁= а₂; σ₁=σ₂

Сравним сначала дисперсии этих выборок H₀: σ²₁=σ²₂

Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии явл. исправлен. выбор. дисперсии

След. гипотеза H₀: S²₁=S²₂

Сравнение дисперсий всегда осуществл-ся путем вычисл-я их отнош-я. М. показать, что при H₀ эта случ. величина им. распр. Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

F= ~F(k₁,k₂). Причем k₁=n₁-1, k₂=n₂-1, S²_1>S²₂

Пусть H1:S²_1>S²₂, т.е. правостор. крит. область. F_k(K_кр)=1-α. Проверка H₀ осущ-ся след.обр.: Вычисл-ся наблюдаемое знач-е критерия. Выбир-ся ур-нь значимости α и по табл. крит. точек распр. Фишера находят F_кр(α,k₁,k₂). Если F_набл> F_{кр ,} то H₀ отвергаем и приним. конкурирующую. 2)Пусть H1: S²₁ S²₂— двустор. крит. область. В этом случае поступают аналогично, только F_кр(α/2,k₁,k₂)

41.Сравнение средних двух нормальных выборок (Критерий Стьюдента).

Пусть имеется 2 выборки X и Y с объемами n₁ и n₂, распределен. по норм. закону. X~N(а₁,σ ₁),

Y~N(а₂,σ ₂).

Проверим гипотезу H₀ о рав-ве мат. ожиданий.

H₀:a₁=a₂; H₀:a_1≠a_2. Несмещен. состоятельн. оценкой мат. ожид. явл. выбор. средняя. H₀: . Поэтому H₀ м. сформулир., что средние равны. . Если σ неизвестно, то вместо них нужно подстав. оценки

= . Наблюдаемое знач-е критерия

T=

В этом случае случ. величина T имеет распределение Стьюдента с (n₁+n₂-2) числом степеней свободы. T_n~T(n₁+n₂-2). Проверка гипотезы осущ-ся с исп-ем таблиц распр. Стьюдента по выбран. ур-ню значимости α и числу степеней свободы (n₁+n₂-2).

Tкр(α, n₁+n₂-2).

Если |Tн|>|Tкр|, то H₀ отверг. и приним. конкурирующую гипотезу, сл-но средние в группах различ-ся достоверно.

Замечание 1. Критерий Ст. применяется, когда n>30.

Замечание 2. Критерий Ст. явл. устойчивым к нарушению норм. распр. изучаемых выборок. В этом случае необх-мо только им. запас ур-ня значимости. Если бы мы могли отвергнуть H₀ при α=0.001, то м. согласиться со след. выводами (есть отклик на воздействие).

42. Дисперсионный анализ.

Напр, поступило задание сравнить успеваемость студентов 4 специальностей. Сравнение осн.на вычислении дисперсий. Сравнивают дисперсии, обусловленные влиянием факторов, и дисперсии, обусловленные влиянием случ. величин. Поэтому называется дисперсионный анализ.

Если 1 дисперсия достоверно больше 2 дисперсии,то делают вывод о различии фун-и распределения в группах. Рассмотрим сначала однофакторный дискретный анализ, т.е. имеется m групп однородных объектов и изучается влияние на них одного фактора. Предположим, что каждая группа имеет норм. распред.X_i~N(0,1), i=1,m.Тогда нулевую гипотезу формулируют так:H₀:a₁=…am.Пусть объемы в группах одинаковы. Средние сравнивают между собой. Пусть специальность не влияет на успеваемость.

; -общая средняя.

Разложим общую сумму квадратов отклонений на факторную и остаточную

-остаточная сумма квадратов отклонений, она обусловлена влиянием случ .величин. Характеризует рассеяние внутри группы. -факторная сумма квадратов отклонений. Характеризует рассеяние между группами.

Т.о.

Построим дисперсию по каждой из этих сумм

Для сравнения факторных и остаточных дисперсий построим их мат.ожидания. Для справедливости H₀ F=0 и чем больше F значение отличное от нуля, тем больше факторная дисперсия.