4.Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Перестановками называются комбинации, составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их следования. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

P_n =n!

Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m (0 <m n) , которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

или

=n(n -1)(n -2) *...*(n -m +1).

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n элементов по m (0 <m n) , которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойства сочетаний:

1. =1, так как по определению 0!=1.

2. = n.

3. =

Урновая схема

Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а

остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l (маленькая L) белых.

Эта формула называется гипергеометрическим распределением.

5. Условная вероятность. Независимость событий.

Условная вероятность- вероятность появления события А после того, как некоторое событие В уже произошло. P(A/B) вычисляется по формуле

Аналогично, условной вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, называется

. теорема умножения: Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную

вероятность второго, при условии, что первое уже произошло:

Распространим теорему умножения на конечное число событий: Вероятность совместного появления нескольких произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на

условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

События А и В называются независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий.

Для независимых событий получим:

.

Следовательно, для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают

.

Для конечного числа независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей каждого из событий:

.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Рассмотрим пример: Имеется три одинаковые урны: в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных. Кто то выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее один шар. Нужно найти вероятность того, что вытянутый шар белый(вероятность события А).

Проведение опыта возможно только в условиях исключающих друг друга гипотез (в нашем примере это случайный выбор любой из трех урн):

H1, H2,…, ( )

Рассматривая некоторое событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез. Условные вероятности по каждой из гипотез заданы: Р(А/Н₁), Р(А/Н₂)… Р(А/Н_n).

Затем представим А как сумму n несовместных событий:

A= Н₁ A+ Н₂ A + Н_n A = Н_iA

По правилу сложения вероятностей несовместных событий получаем:

Р(А)=Р(Н_iА)

А по правилу умножения:

Р(Н_iА)=Р(Н_i) Р(А/Н_i).

И откуда формула полной вероятности:

. Таким образом вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. Она применяется в тех случаях, когда опыт со случайным исходом распадается на два этапа: 1-учитываются условия опыта; 2-его результат.

Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез, после того, как событие А уже произошло: .

По теореме умножения:

Р(А/Нj)= Р(А)Р(Нj/А)= Р(Нj) Р(А/Нj),

.

Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса:

.