24. Центральная предельная теорема.

ЦПТ – условия связанные с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть - последовательность независимых случайных. Обозначим через их сумму.

Говорят, что к последовательности применима ЦТП если при n0 закон распределения стремиться к нормальному

Суть ЦТП: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения их суммы стремиться к нормальному.

Частным случаем ЦПТ является интегральная предельная теорема Муавра-Лапласса.

Сформулируем ЦПТ для одинаково распределенных случайных величин.

Пусть а=-∞; b=x(поменять в формуле)

ЦТП для одинаково распределенных случайных величин

Пусть св независимы, одинаково распределены, имеют онечные М=а, D=Ϭ², то к этой последовательности применима ЦПТ.

25. Выборочный метод.

Пусть изучается некоторые количественный признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть.

Совокупность объектов, взятых для исследования называется выборочной или выборкой. Совокупность объектов из которых взята выборка называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность, она должна быть случайной и выборочные значения должны быть независимы.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ встретилось n₁ раз, x₂-n₂,….,x_k-n_k раз и ∑n_i объем выборки

Наблюдаемые значения x_i – варианты, n_i – их частоты,

n_i/n =w_i– относительные частоты. (отношение частоты к объему выборки)

Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

26.Эмпирическая функция распределения и её свойства.

Эмпирической функцией распределения называется функция определяющая для каждого значения х относительную частоту события (Х<х), _{(х-изучаемый признак).}

n_x-число вариант меньших x

n- объем выборки

В теории вероятностей функцию F(x) распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Теоретическая функция F(x) определяет вероятность события ( X < x ), а эмпирическая функция F (x) n относительную

частоту этого же события. На основании теоремы Бернулли при n∞ эмпирическая функция распределения стремиться к теоретической.

Т.о. эмпирическая функция распределения строится для оценки вида теоритической функции распределения

Свойства:

1. для любого xR функция распределения

2. F_n(x) –неубывающая функция.

3.Если a=min{x_i}, то для любого x≤а F_n(x)=0

Если b=max{x_i}, то для любого x>b F_n(x)=1

4. F_n(x) -непрерывна слева в каждой точке xR

27. Полигон и гистограмма.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с кординатами (x₁, n₁); (x₂, n₂); …; (x_k, n_k)

Для изучения непрерывного признака строятся гистограмма. Для этого интервал [a,b,] где a=min{x_i}, b=max{x_i}делиться на несколько частичных интервалов одинаковой длины h. Затем подсчитывается число вариант n_i, попавших в каждый интервал.

Гистограмма – фигура состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длин h, а высоты n_i/h.

Тогда площадь i-го прямоугольника равна S=Si=n

А площадь всей гистограммы – n(объем выборки).

Аналогично строится гистограмма относительных частот. При этом вдоль оси Оy откладывается w_i/h.

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы –

Анологичным свойством нормировки обладает плотность распределения вероятности, т.о. гистограмма относит частот строится для оценки вида плотности вероятности.