37. Построение критической области.

Рассмотрим построение правосторонней критической области.

Пусть вид распределения критерия К для проверки H₀ известен и его плотность вероятности p_k(x), если выполнимо H_0.

Критическую точку найдем , исходя из требования , чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, большее Kкр , была равна

принятому уровню значимости:

На основании известной плотности вероятности находим Kкр из уравнения: ;

Критическую точку Kкр можно также можно найти, используя функцию распределения:

Так как

Аналогично строится левосторонняя критическая область. Она определяется неравенством К<Ккр, Ккр < 0.

Критическую точку найдем , исходя из требования , чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, меньшее Kкр , была равна принятому уровню значимости: или

Рассмотрим построение двусторонней симметричной критической области.

P(K>Kкр/Н₀)=

Пусть плотность распределения критерия К является четной функцией. Раскроем знак модуля и перейдем к односторонней (правосторонней) критической области

Р((К<-Ккр)+(К>Ккр))=

2Р(К>Ккр)=, Р(К>Ккр)= ,

38. Критерий согласия Пирсона.

Критерий проверки гипотез о предполагаемом виде распределения называется критерием согласия. Наиболее распространенный из них – критерий согласия Пирсона или критерий χ².(хи квадрат)

Пусть вид распр. изучаемого признака Х неизвестен и пусть есть основ-е предполаг., что он распределен по некотор. ф-ции теоретическ. распр. F(x).

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы. Пусть

На основ-и данных выборки построим интерв. вариац. ряд. Для этого найдем:

1)x_min, x_max и размах варьиров-ния R= x_max-x_min. Весь интервал наблюдаемых значений Х разделим на k частичн. инт-лов (x_i,x_i+1) одинаковой длины, гдк к можно вычислить по формуле: k=3,32·lgn+1

2) Подсчитаем эмпирические частоты .

3) Затем вычислим вероятности p_i попадания случайной величины в построенные интервалы, исходя из ф-ции распредел-ния F(x)

₄₎На основании теоремы Бернулли теоретич. Частоты вычислим по формуле

Критерий Пирсона позвол. различить теорет. и эмпир. частоты. В кач-ве критерия проверки нулев. гипотезы приним-ся величина

.

Можно доказ., что при n→∞ закон распр. случ. величины стрем-ся к закону распр. χ². Поэтому случ. величина обознач-ся ч/з χ², а сам критерий наз. критерием согласия «хи-квадрат».

Число степеней свободы равно v=k-r-1, где k–число частичн. инт-лов выборки, r–число оцениваемых пар-ров. В частности, для норм. распр. оценивают мат. ожид. и ср. квадр. отклон., т.е. r=2. Тогда v=k-3. Проверим нулев. гипотезу, исходя из требований, что вер-ть попадания критерия в правостор. критическую область равна принятому уровню значим-ти α: Р(χ² > χ_кр²)=α Знач-е критерия, вычислен. по данным наблюдений, обозначим ч/з χ_набл² и сформулир. правило проверки нулев. гипотезы.

Правило проверки нулевой гипотезы:

По таблице критических точек распределения по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы v=k-r-1 находят _кр

Если _набл< _кр, то нет основания отвергнуть H₀, следовательно признак X имеет распределение F(x).

Если _набл ≥ _кр, то H₀ отвергаем и принимаем H₁. Следовательно X имеет другое распределение.

39. Вычисление теор. частот для норм. распр.

Пусть имеется выборка (х₁,х₂,…,х_n) объема n, и есть основ-е предполож., что она имеет норм. распр-ние. Для вычисл-я теор. частот необх-мо выполн. действия:

1)По данным выборки построить интерв. вариац. ряд. Необх-мо весь инт-л наблюдаемых знач-й Х разделить на k частичн. инт-лов (x_i,x_i+1) одинак. длины. Для этого находим макс. и мин. знач-я выборки, размах варьир.: R= x_max-x_min. Для определения кол-ва интервалов группировки к воспольз-ся формулой к= 3,32*lg n+1.Тогда ширину частичн. инт-лов (x_i,x_i+1) находим из формулы h=R/k. Число k округл-ся в стор. наибольш. целого числа. Инт-лы строятся таким.образом, чтобы xmin и xmax входили внутрь инт-лов. Для этого в кач-ве левой границы 1-го инт-ла м. взять , а в кач-ве правой границы последн. инт-ла . В кач-ве частоты ni вариац. ряда записыв. число наблюдений, попавших в кажд. [x_i,x_i+1) промежуток.

2)Для того, чтобы получить оценки пар-ров α и σ перейдем к дискр. ряду, взяв в кач-ве варианты Х ряда середины построен. инт-лов .В итоге получим послед-ть равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Несмещен. оценкой мат. ожид. явл. исправлен. выбор. среднее , а дисперсии–исправлен. выбор. дисп. S².

3)Сделаем преобразование стандартизации для Х, перейдя к величинам

и , .

4)Вычислим вер-ти p_i попадания Х в инт-лы (z_i,z_i+1):

_{5)Рассчитаем теоретические частоты} .