17. Нормальное распределение.

Нормальным (распределением Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

Определятся 2 параметрами .

Можно показать, что

,

При получим стандартное нормальное распределение:

От произвольного нормального распределения можно перейти к стандартному с пом. Преоб-ния.

.Функция стандартного нормального распределения имеет вид.

Функция

Назыв. Функцией Лапласа. Функции Ф₀(х) и Ф(х) связаны м/у собой соотношением

Ф(x)=

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.

По формуле Лапласа имеем

Вероятность заданного отклонения от матожидания для нормальной случайной величины

.

Преобразуем данную формулу, положив =Ϭ*t Получим Если t=3, то

Правило трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то с вероятностью, близкой к единице, абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

18. Двумерная функция распределения и ее свойства.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X;У) на­зывается функция F(x;у), которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий {X < х} И {У<у}.

Таким образом, по определению

F(x,y) = P{X <x,Y <у}

(событие {X < х, У < у} означает произведение событий {Х < х) и {У < у}).

Геометрически функция F(x,y) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X,У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащий левее и ниже ее.

Функция распределения двумерной дискретной случайной величи­ны (Х;У) находится суммированием всех вероятностей pij, для кото­рых хi < х, yj < у, т. е.

Свойства:

1.Функция распределения F(x,у) ограничена, т.е.

0 F(x,у)1

2. F(x,y) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т. е.

F(х₂,у) F(х₁,у) при х₂>x₁

F(х,у₂) F(х,у₁) при у₂>y₁

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в - ∞, то функция распределения F(x,y) равна нулю, т.е.

F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0

4. Если оба аргумента обращаются в +∞, то F(x,у) равна 1, т.е.

F(+∞,+∞)=1

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения системы случайных величин становятся (функцией распре­деления с. в., соответствующей другому элементу, т. е.

F(x,+∞)=F₁(x)=F_X(x); F(+∞,y)=F₂(y)=F_Y(y)

6. F(x,y) непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.е.

lim F(x,y)= F(x₀,y) lim F(x,y)= F(x,y₀)

х, х₀ к 0 y, y₀ к 0

19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения F(x.y) есть непрерывная функция, диффе­ренцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая смешанная производная

Плотностью распределения вероятностей (или совместной плот­ностью) непрерывной двумерной случайной величины (X,У) называ­ется вторая смешанная производная ее функции распределения.

Обозначается совместная плотность системы двух непрерывных случайных величин (X, Y) через f(x,y) (или р(х,у)). Таким образом, по определению:

Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной слу­чайной величины (X, У) есть предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами ∆х и ∆y, примыкающий к точке (x,y), к площади этого прямоуголь­ника, когда его размеры ∆х и ∆у стремятся к нулю.

Свойства: 1.Плотность распределения двумерной случайной величины неотри­цательна. т. е. f(x,y)0

2. Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D равна двойному интегралу от плотности но области D. т.е.

3.Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения по формуле:

4.Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконеч­ных пределах от плотности вероятности двумерной с. в. равен еди­нице, т. е.

5. Плотности распределения одномерных составляющих Х и У могут быть найдены по формулам: