20. Независимость случайных величин

Случайные величины X и Y называются независимыми если не­зависимыми являются события {X < x} и {Y < у] для любых действи­тельных х и у. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Теорема 1. Для того, чтобы случайные величины X и Y были незави­симы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

F(x,y) = F_l(x)F₂(y).

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием независимости двух непрерывных случайных величин, образующих систему (Х, У), яв­ляется равенство: f(x,y)=f₁(x)*f₂(y)

Теорема 3 Необходимым и достаточным условием независимости двух дискретных случайных величин X и Y, образующих систему (X,Y), является равенство: P {X=x_i,Y=y_j}= P {X=x_i}* P{Y=y_j} для  i=1,2,…,n, j=1,2,…,m (или что тоже самое p_ij=p_xi*p_yj,

.

21. Условный закон распределения.

Условным законом распределения одной из случайных величин, вхо­дящей в систему (Х,У), называется ее закон распределения, найден­ный при условии, что другая случайная величина приняла определен­ное значение (или попала в какой-то интервал).

Пусть (Х, У) — дискретная двумерная случайная величина и p_ij=P{X=x_i, Y=y_j} .

В соответствии с определени­ем условных вероятностей событий (P(B/A)= ) условная вероятность того, что случайная величина Y при­мет значение yj при условии, что X =x_i определяется равенством:

P{Y=y_jX=x_i}= i=1,2,…,n, j=1,2,…m

(или коротко: p(y­jx_i)= )

Совокупность вероятностей p(y₁ x_i), p(y₂ x_i),…, p(y_m x_i), представляет собой условный закон распределения случай­ной величины У при условии X = x_i. Сумма условных вероятностей P(y_jx_i) равна 1, действительно:

)= =

Аналогично определяются усланная вероятность, условный закон распределения случайной величины X при условии У = у_j.

22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.

Неравенство Чебышева Для случайной величины , имееющей ограниченную дисперсию , для любого справедливо неравенство Чебышева

Доказательство. Пусть M = a .Докажем неравенство для непрерывной случайной величины  с плотностью распределения p( x ) . Вероятность P(-а  ) есть вероятность попадания случайной величины  в область, лежащую вне промежутка [ a - , a + ]. Можно записать

—ЕP(-а  )=

Область интегрирования x - a ≥ . Возведем обе части неравенства в квадрат: (x -a)² ≥² . Разделив на ² , получим

P(-а  )

так как интеграл от неотрицательной функции при расширении области интегрирования может только возрасти. Аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины  , только интегралы (вида ) заменяются соответствующими суммами (вида

Неравенство Чебышева часто используется для противоположного события

Последовательность случайных величин _1, ₂,… _n,  сходится по вероятности к величине a (cлучайной или неслучайной) , если для любого >0 вероятность события _n-a< при n∞ cтремиться к еденице: Сходимость по вероятности обозначается так: a(cверху стрелки Р).

23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева: Если ₁, ₂,…,_n – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого ε >0 выполняется

Доказательство.

Так как дисперсии ограничены С, то

Тогда применяя к случайной величине

Переходя к пределу при n∞ и учитывая, что вероятность любого события не превышает 1, получим:

Бернулли.Пусть - число наступления события А в n независимых испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Тогда для любого справедливо

- относительная частота события А сходится по вероятности р события А.