7. Схема независимых испытаний Бернулли.
Пусть производится последовательность независимых испытаний с 2 исходами: событие А или появится или не появится.
,
,
q=1-p
Под элементарным событием в схеме Бернулли принимается последовательность наступлений и ненаступлений события А в n испытаниях.
А={1},
={0}.
Тогда элементарный исход имеет вид
вектора, из 1 и 0: (1,0,…, 1).
Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно m раз.
Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна pmqn-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли
.
Часто интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m1 до m2 раз включительно
8. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона.
Если в схеме
Бернулли
,
так, что np→a
- конечное число, то
. (6.1)
Замечания:
1.
– среднее число появления события А в
n
испытаниях.
2.
Как правило, теорему Пуассона применяют,
когда
.
Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
Если вероятность
наступления некоторого события в n
независимых испытаниях постоянна и
равна p
– конечное число из интервала (0,1), то
вероятность того, что в этих испытаниях
событие А наступит ровно m
раз, удовлетворяет при n
соотношению:
равномерно
по всем m,
для которых
находится в каком-то конечном интервале;
функция
называется
плотностью нормального распределения.
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
Если m
число наступлений событий в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность этого события
равна p,
причем р€(0,1), то равномерно относительно
а и b
(-∞<a<b<+∞)
при n
,
имеет место соотношение
,
где
-функция
Лапласа.
Замечания.
1. Функция Лапласа нечетная:
.
2. при
,
=
0.5.
3. Плотность
нормального распределения
=
- четная функция,
4. Функции , заданы таблично.
9. Функция распределения вероятности и ее свойства. Случайная величина называется функция, определенная на множестве элементарных событий (омега). С.в. является функцией элементарных исходов , величина кот зависит от случая.
Если множество счетное (множ-во натуральных чисел) или конечное, случайная величина наз-ся дискретной.(мн-несчетное- недискретная с.в.)
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие м/у возможными значениями и их вероятностями; можно задать таблично, аналитически и графически.
Пусть
- случайная величина и
.
Вероятность того, что
примет значение, меньшее чем
,
называется функцией
распределения вероятностей:
.
Случайн. Вел. Наз-ся непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна.
Функция распределения дискретной с.в. -разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят
в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков =1.
Функция распределения вероятностей является неслучайной функцией, а функцией, вычисленной на основании закона распределения случайной величины.
Свойства функции распределения
1.
,
0
,
т.к. это вероятность.
2
.
–неубывающая
функция.
Следствия 2.1Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть приращение функции распределения на этом интервале:
2.2 Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной СВ равна 0. Пусть x2=x1+∆x
2.3 Вероятность попадания непрерывной СВ в открытый или замкнутый промежуток одинакова:
Докажем
последнее равенство
4. непрерывна слева в каждой точке (см. рис.7.1).
5.
.