3. Метод жордановых исключений, вывод формул.

Метод последовательных исключений представляет собой совокупность удобных вычислительных алгоритмов, построенных на последовательном применении эквивалентных преобразований системы уравнений. Это метод лежит в основе симплексного метода решения задач линейного программирования. Существуют обыкновенные жордановы исключения (ОЖИ) и модифицированные (МЖИ).

Метод МЖИ:

Дана система линейных уравнения в стандартной форме:

i – порядковый номер уравнения, i=1,2…m

j – порядковый номер переменной, j=1,2…n

Перепишем данную систему, подставив перед х_j знак минус:

Коэффициент (-а_ij) обозначим как а_ij:

Запишем в таблицу МЖИ, вынесем х_j в верхнюю заглавную строку:

	-х1	-х2	…	-хs	…	-хn	Св. члены
y1	a11	a12	…	a1s	…	a1n	b1
y2	a21	a22	…	a2s	…	a2n	b2
…	…	…	…	…	…	…	…
yk	ak1	ak2	…	aks	…	akn	bk
…	…	…	…	…	…	…	…
ym	am1	am2	…	ams	…	amn	bm

Запишем систему, которая получится в результате преобразований:

	-х1	-х2	…	-уk	…	-хn	Св. члены
y1	β11	β12	…	-a1s/aks	…	β1n	b1
y2	β21	β22	…	-a2s/aks	…	β2n	b2
…	…	…	…	…	…	…	…
xs	ak1/aks	ak2/aks	…	-1/aks	…	akn/aks	bk/aks
…	…	…	…	…	…	…	…
ym	βm1	βm2	…	-aks/aks	…	βmn	bm

k - № разрешающей строки,

s - № разрешающего столбца,

i - № заполненной строки,

j - № заполненного столбца.

4. Решение систем линейных уравнений в табличной форме. Алгоритм. Правило прямоугольника

Метод последовательных исключений представляет собой совокупность удобных вычислительных алгоритмов, построенных на последовательном применении эквивалентных преобразований системы уравнений.

Для решения системы линейных уравнений методом жордановых исключений необходимо преобразовать систему линейных уравнений в таблицу, вынеся переменную x_i в верхнюю заглавную строку таблицы (свободные переменные), а y_i в левый столбец (базисные переменные).

Для преобразования исходной таблицы по методу ЖИ необходимо сначала выбрать разрешающий элемент (не равный 0). А затем следовать алгоритму МЖИ:

1. Заполнить свободные и базисные переменные в новой таблице поменять местами базисную и свободную переменные, оказавшиеся в разрешающих строке и столбце.

2. Заполнить клетку, соответствующую разрешающему элементу: взять величину, обратную разрешающему элементу.

3. Заполнить строку, соответствующую разрешающей: поделить элементы разрешающей строки на разрешающий элемент.

4. Заполнить столбец, соответствующий разрешающему: поделить элементы разрешающего столбца на разрешающий элемент с противоположным знаком.

5. Оставшиеся клетки в таблице заполнить по правилу прямоугольника.

ПРАВИЛО ПРЯМОУГОЛЬНИКА:

Для каждой заполняемой клетки строится свой прямоугольник на предыдущей таблице:

- первую общую для всех прямоугольников вершину ставим в клетке разрешающего элемента

- противоположную ей вершину ставим в клетке, соответствующую искомому элементу (диагональ, соединяющая эти две вершины называется главной)

- две другие вершины взять в таких в клетках, чтобы получился прямоугольник (побочная диагональ)

Правило звучит так: от произведения элементов, стоящих в вершинах по главной диагонали прямоугольника отнять произведение элементов, стоящих на побочной диагонали и разделить на разрешающий элемент.

Для того, чтобы решить систему линейных уравнений, надо делать шаги МЖИ до того, пока все переменные y_i не перейдут из базиса в свободные переменные на место x_i. Перемещать можно в любой последовательности. Из каждой таблицы МЖИ можно выписать решение системы, для этого надо помнить, что свободные переменные всегда приравниваются к нулю, тогда базисные будут равны соответствующим свободным членам.