Функция полезности обладает свойствами:
1)Возрастание потребления первого продукта, при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребляемой оценки.
х1 +∆x ˃ х1; U(х1 +∆x, x2) ˃ U(х1, x2)
х2+ ∆x ˃ х2; U(x1 ,х2 +∆x) ˃ U(х1, x2)
U1/=d U(х1, x2) / d х1 ˃ 0
U2/=d U(х1, x2) / d х2 ˃ 0
Первые частные производные называются предельными полезности и обозначаются - M
M1 = U1/ - предельная полезность первого товара;
M2 = U2/ - предельная полезность второго товара.
2) Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объём его потребления растет. Это свойство предельной полезности называется законом убывающей предельной полезности.
d2U /d x12 = U11// ˂ 0
d2U /d x22 = U22// ˂ 0
3) Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта, в этом случае продукт количество которого фиксировано оказывается относительно дефицитным, поэтому дополнительная единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно.
d2U / dx1 dx2=d2U / dx2dx1 ˃ 0
U12// = U21// ˃ 0
Линия соединяющая потребление набора x1 и x2, которые имеют один и тот же уровень удовлетворяющие или уровень полезности называется линией безразличия.
Линия безразличия является линией уровня полезности. Множество линии безразличия называется картой линии безразличия.
Линия безразличия не касаются и не пресекаются, чем дальше расположены линии безразличия от начала координат, тем больше уровень полезности она соотносит.
43. Решение задачи потребительского выбора
Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора х1, х2, которые максимизируют функции полезности при заданном бюджетном ограничению.
Потребитель располагает фиксированным доходом I, который может быть потрачен на продукты питания, одежду, х1 – количество продуктов питания, х2 – количество одежды.р1 – рыночная цена на продукты питания, р2 – рыночная цена на одежду, тогда р1 х1 - сумма денег затраченные на продукты питания, р2 х2 – сумма денег затраченные на одежду.
Все сочетания х1 и х2 при которых сумма затрат меньше или равна доходу будут соответствовать бюджетному ограничению, если предположить, что расход равен бюджету, то должно выполниться равенство.
р1 х1 + р2 х2 = I
Комбинация продуктов и одежды, которые может приобрести покупатель будут находится на прямой – эта прямая бюджетная линия. Предположим, что I = 400, р1 = 10, р2 = 20.
10*0+20*20=400
10* 10+20*15=400
10*20+20*10=400
10*40+20*0=400
Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежных доходов - р1 х1 + р2 х2 ≤ I
Формально задачи потребительского выбора имеет вид:
U(x1,x2)→ max
р1 х1 + р2 х2 ≤ I
х1 ≥ 0, х2 ≥0 – постановка задачи потребительского выбора.
В приведенной задаче потребительского выбора является задачей нелинейного программирования.
Набор х1 и х2 – которые максимизируют функцию полезности должны обращать бюджетные ограничения в равенство: р1 х1 + р2 х2 = I
Графически это означает, что решение задача потребительского выбора должна находится на бюджетной прямой. будем считать, что условие не отрицательности в оптимальной точке будет выполняться автоматически, тогда задачи потребительского выбора можно заменять задачей на условный экстремум т.е U(x1,x2)→ max, при условии р1 х1 + р2 х2 = I
Для решения этой задачи можно применить метод Лонгранджа, в результате получим систему двух уравнений с двумя переменными х1 и х2.
р1 х1 + р2 х2 = I, если представить решение х1 и х2 в левую часть первого равенства, то получим, что в точке х1, х2 локального рыночного равновесия, отношение предельных полезностей, продуктов равен отношению рыночных цен на эти продукты.
Графически можно интерпретировать, как точку касания бюджетной линии и линии безразличия. Координаты х1 и х2 решение задач потребительского выбора является функциями параметров р1,р2, I.
х1 = х1(р1,р2, I)
х2 = х2(р1,р2, I)
Данная функция называется функция спроса на первый и второй товар.
х1(2р1,2р2, 2I)= х1(р1,р2, I)
х2(2р1,2р2, 2I)= х2(р1,р2, I)
Это означает, что если все цены и доход изменится в одно и то же число раз, величина спроса на продукт останется неизменной.