Энергия электромагнитного поля

Возможность обнаружения электромагнитных волн (по проскакиванию искры, свечению лампочки и т. п.) указывает на то, что эти волны переносят энергию. Перенос энергии (см. выше) характеризуется плотностью потока энергии (количество энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению, в котором течет энергия). Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Плотность потока энергии равна произведению плотности энергии на скорость волны.

Плотность энергии электромагнитного поля w складывается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

В данной точке пространства в непроводящей среде векторы Е и Н изменяются в одинаковой фазе (в проводящей среде фазы Е и Н не совпадают.). Поэтому соотношение между амплитудными значениями Е и Н справедливо и для их мгновенных значений.

Тогда выражению для плотности энергии электромагнитной волны можно придать вид

(112.1)

Скорость электромагнитной волны равна . Умножив плотность энергии  на скорость , получим плотность потока энергии

(112.2)

Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора Е  Н совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (sin = 1). Следовательно, вектор плотности потока энергии можно представить как векторное произведение Е и Н

(112.3)

Вектор S называется вектором Пойнтинга.

Поток энергии Ф_, т. е. количество энергии, переносимое волной в единицу времени через некоторую поверхность S, равен

(112.5)

(здесь S_n – нормальная составляющая вектора S; dS– элемент поверхности S).

§ 44. Групповая скорость

Волна, описываемая уравнением

(44.1)

представляет собой последовательность горбов и впадин, имеющую бесконечные протяженность и длительность.

В самом деле, уравнение (44.1) определяет смещение для всех значений х и t, заключенных в пределах от –  до +. Ясно, что с помощью такой волны нельзя передать никакого сигнала. Для того чтобы волна могла быть использована для передачи сигнала, на ней нужно сделать «отметку», скажем, оборвать ее на какой-то промежуток времени. Однако в этом случае волна уже не будет описываться уравнением (44.1).

Для невозмущенной волны (44.1) величина  = dx/dt, с которой перемещается данное значение фазы в пространстве (фазовая скорость волны), равна

(44.2)

Волна же помеченная прерыванием или иным ее искажением будет представляться наложением волн вида (44.1) с частотами, заключенными в интервале . Математически это утверждение вытекает из простейших представлений о рядах Фурье и может быть подтверждено дальнейшим их развитием в виде интегральных преобразований Фурье или Лапласа.

Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте (или длине волны), называется группой волн. Выражение группы волн имеет вид:

(44.3)

Суммируемые в (44.3) волны отличаются друг от друга по , а следовательно и по k (k = 2/). В некоторый момент времени t отличие по фазе складываемых волн в разных точках (для разных х) будет различно. В одних точках волны усиливают друг друга больше, в других — меньше. В том месте, где волны в данный момент больше всего усиливают друг друга, будет наблюдаться максимум интенсивности. С течением времени этот максимум перемещается в пространстве. Сказанное можно пояснить на примере сложения двух волн с различными  (рис. 147). Одна из волн изображена сплошной линией, вторая — пунктирной.

Рис. 147.

Интенсивность максимальна в точке А, где фазы обеих волн в данный момент совпадают. В точках В и С обе волны находятся в противофазе, вследствие чего интенсивность результирующей волны минимальна.

Точку, в которой амплитуда (а, следовательно, и интенсивность) группы волн имеет максимум, называют центром группы волн. В случае существования непрерывного по частоте в пределах  набора волн их сложение приведет к наложению волн со случайными фазами вдали от центра и почти синфазных в центре. Огибающая амплитуд наложенных волн будет представлять собой кривую с максимумом в центре группы.

Если все составляющие группы волн распространяются с одинаковой фазовой скоростью v, то относительное расположение волн остается все время неизменным. Следовательно, центр группы также будет перемещаться в пространстве со скоростью . Иначе обстоит дело, если наблюдается дисперсия, т. е. зависимость фазовой скорости волн от частоты. В этом случае центр группы волн перемещается со скоростью

(44.4)

называемой групповой скоростью.

Заменив согласно (44.2)  через k, выражение для групповой скорости можно представить в виде

Заменим в этом выражении d/dk через . По определению k = 2/ или  = 2/k. Следовательно , так что . Подставив это значение в формулу для u, получим:

(44.5)

Очевидно, что выражения (44.4) и (44.5) эквивалентны.

Докажем правильность формулы (44.4) на примере двух слагаемых волн, описываемых уравнениями

Для упрощения выкладок мы положили амплитуды обеих волн одинаковыми. В соответствии со сказанным выше положим, что . Сложив уравнения и сложив косинусы, получим уравнение результирующей волны:

(44.6)

(во втором множителе мы пренебрегли  по сравнению с 2 и k по сравнению с 2k).

Множитель, стоящий в квадратных скобках, изменяется с t и х гораздо медленнее, чем второй множитель. Поэтому выражение (44.6) можно рассматривать как уравнение плоской волны, амплитуда которой изменяется по закону

Максимуму амплитуды соответствует фаза, равная нулю (или ±m, где m — целое число). Следовательно, координата х_m центра группы волн в момент времени t определяется из условия:

Отсюда для групповой скорости u = dx_m/dt получается значение: u = /k. Перейдя к дифференциалам, получим формулу (44.4).

Из формулы (44.5) видно, что в зависимости от знака d/d групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой скорости . В отсутствие дисперсии d/d = 0 и групповая скорость совпадает с фазовой.

Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому в тех случаях, когда понятие групповой скорости имеет смысл, скорость переноса энергии волной равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Такой случай имеет место в области аномальной дисперсии. В этой области поглощение очень велико и понятие групповой скорости оказывается неприменимым.

Из сказанного в этом параграфе ясно, что во всех описанных выше опытах измерялась не фазовая, а групповая скорость световых волн (напомним, что в вакууме эти скорости совпадают).