Дифракция плоской волны на щели.

При наличии точечного источника света получение волны с плоским фронтом не составляло труда не только в XIX, но и в XVIII веке. Достаточно было поставить источник в фокусе собирающей линзы. Чтобы наблюдать дифракцию необходимо поставить на пути распространения волны преграду с отверстием. Исторически таким отверстием была щель шириной b. Опять-таки, следуя историческим событиям, на пути дифрагированного пучка лучей можно поставить линзу для сбора максимального количества света на экран. В современных условиях проще воспользоваться источником высокой оптической яркости – лазером. В этом случае в качестве линзы выступит хрусталик глаза.

Как и прежде задача заключается в нахождении распределения интенсивности света, падающего на экран. Естественно воспользоваться формализмом, развитым Френелем. Рассмотрение будет проводиться в точке экрана Р не обязательно совпадающей с его центром.

Так как на щели умещается меньше одной зоны Френеля (см. выше), все точки фронта волны, падающей на щель, излучают синфазные сферические волны. Как следует из рисунка, между волной, излучаемой из точки 0 и волной, излучаемой из точки с координатой х, существует сдвиг фаз, равный d = kx sin.

Определение амплитуды волны в точке Р требует учёта амплитуд всех излучаемых элементарных волн. Легко понять, что амплитуда волны dE_m, излучаемой площадкой длиной dx, пропорциональна площади излучателя, поэтому dE_m = E₀ dx / b. Теперь, в соответствии с математической формой записи принципа Гюйгенса – Френеля, можно определить результирующую волну

Для определения суммарной амплитуды использована комплексная форма записи, но определена лишь её вещественная часть. Все множители, не зависящие от координаты х, входят в величину . Кроме того, введено обозначение:

Теперь интенсивность результирующей волны в точке Р определяется полностью:

График этой функции приведён на рисунке. Минимумы соответствуют нулевым её значениям:  = m, где m =  1, 2, 3,…Исключением является точка в центре картины. Дальнейшие преобразования дают положения минимумов в зависимости от угла :

b sin  = m  , m =  1, 2, 3,…

Хуже определяются положения максимумов. Приравнивая производную полученной функции нулю, можно получить лишь трансцендентное уравнение:

tg  = 

Интерференционная картина меняется при наклонном падении волны на щель, так как по сравнению с нормальным падением оптический ход изменяется: Δ = AD – CB = b (sin – sin₀). Тогда условие наблюдения минимумов принимает вид:

b (sin – sin₀) = m  , m =  1, 2, 3,…

Здесь ₀ – угол падения волны на преграду.

Дифракционная решётка. Условие наблюдения максимумов и минимумов интенсивности.

Полученная выше зависимость угла  от длины волны говорит о разделении в пространстве волн, соответствующих различным длинам , то есть о возможности использования дифракции для разложения немонохроматической волны в спектр. Так как через единственную щель невозможно пропустить большое количество света, естественным выходом при использовании дифракции при малых потерях светового потока является использование набора щелей. В этом случае говорят об использовании дифракционной решетки (ДР).

Препятствие со щелями можно изготовить из прозрачных сред, например из стёкол, нанося на их поверхность непрозрачные штрихи с помощью так называемой делительной машины. Решётка, изготовленная таким способом, будет дифрагировать свет, пропуская его сквозь среду, а также отражать дифрагированный свет.

Другой способ изготовления ДР – нанесение штрихов на металлическую поверхность. В этом случае решётка работает только на отражение.

В идеале ДР есть набор N бесконечных по длине щелей шириной b. Соответствующие края щелей находятся на расстоянии d друг от друга. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном, как правило, на расстоянии 1м от ДР, то есть гораздо большем размера самой решётки (10см). Таким образом, работа ДР основана на дифракции Фраунгофера (в параллельных лучах).

В простейшем случае волна падает на решётку по нормали. Отсчёт поперечной координаты и фаз волн производится от середины решётки.

Разность оптического хода волн, излучённых соседними щелями равна Δ = dsin, а разность фаз между ними равна

Результирующая амплитуда волн, распространяющихся под углом  к нормали, определяется с учётом полученного выше результата для одной щели. Для центральной щели:

Аналогичные вклады от щелей с номерами m (m = 0,  1,  2, …) отличаются от Е₀ фазой m:

так как номера m отсчитываются от середины решётки. Сумма всех амплитуд есть сумма членов геометрической прогрессии:

Естественно, что в данном выражении должны рассматриваться только вещественные части равенств. Отсюда интенсивность волны в точке Р равна

, (ё)

Где, как и выше,

В центр экрана волны от различных щелей приходят синфазными, причём их конечная амплитуда больше амплитуды, созданной одной щелью, в N раз. Следовательно, интенсивность в центре экрана больше в N² раз, чем от одной щели. Аналогично и в направлениях, соответствующих условию максимума интерференции

dsin = m, m = 0,  1,  2, …

также будут наблюдаться максимумы интенсивности. В этих точках наблюдаются главные максимумы интенсивности дифракции.

Минимумы дифракции должны наблюдаться в направлениях, в которых числители дробей выражения (ё) равны нулю. Первое условие – наличие главных минимумов – определяется для sin = 0, то есть при

bsin = m, m = 0,  1,  2, …

В этих направлениях в результате дифракции на каждой щели ни одна из них не излучает.

Равенство нулю второго числителя (ё) даёт условие появления побочных (второстепенных или добавочных) минимумов:

Эти минимумы появляются в результате того, что сумма фаз волн, излучаемых щелями под некоторым углом , становится кратной :

Легко заметить, что значения р равные 0, N, 2N,… определяют положения не побочных минимумов, а положения главных максимумов (см. выше). Поэтому число побочных минимумов р не может превышать значение N-1, а сами минимумы располагаются между главными максимумами. Разумеется, между побочными минимумами располагаются побочные максимумы, обладающие весьма слабой интенсивностью  4 5% от интенсивности главных максимумов.