Элементарная теория дисперсии.

Дисперсия света есть зависимость скорости его распространения от частоты или длины волны. Это значит, что существует связь между показателем преломления света n = c/ в веществе с параметрами волны: n = n(, ). Простейшая теория дисперсии была предложена Лоренцем для среды, состоящей из невзаимодействующих атомов. Теория Лоренца дает не только качественное объяснение явления, но позволяет получить вполне разумные значения параметров зависимости n() в сильно разреженных средах, например в ионизованной плазме.

Классический атом в широком диапазоне условий стабилен и не имеет никакого избыточного заряда. В то же время известно, что при воздействии сильных электрических полей атом может ионизоваться, то есть заряды в нем как отрицательные (электроны), так и положительные, существуют, но компенсированы. Это говорит о существовании силы, возвращающей электроны обратно в атом при воздействии силы, возмущающей состояние атома: f_возвр = - k r. Если электроны выведены из положения равновесия, они колеблются, теряя энергию колебания. Затухание можно учесть стандартным путем, введя «силу трения», пропорциональную скорости движения электрона: f_тр = - b . Электромагнитная волна воздействует на каждый электрон атома в соответствии с изменением вектора Е электромагнитной волны: f_эл = eE₀ cos (t). Здесь Е₀ – амплитуда напряженности электрического поля волны.

Результирующее уравнение движения электрона есть уравнение вынужденных колебаний:

Здесь ₀ – собственная частота электрона,  – коэффициент затухания.

Это уравнение имеет решение, соответствующее установившимся колебаниям, амплитуда (r_m) и фаза () которых определяются известными формулами:

Определенный таким образом характер изменения смещения заряда электрона относительно центра атома одновременно определяет и характер изменения дипольного момента атома: d = qr = qr_mcos(t + ). Вместе с тем, наведенный момент позволяет определить поляризацию среды Р:

P = dN

и, следовательно, величину диэлектрической проницаемости 

Здесь N – число электронов в единице объема среды. При   0 фазовый сдвиг   0. Тогда конечное выражение для частотной зависимости  приобретает вид:

а, поскольку n² =     не составляет труда определить частотную зависимость показателя преломления (см. рисунок). Отсутствие разрыва зависимости при объясняется действием затухания , которым в выражении для r_m пренебрегли для упрощения математических выкладок. При детальном учете затухания появляется также зависимость показателя поглощения света (в отличие от коэффициента поглощения) æ от частоты (см. рисунок).

К сказанному следует добавить три обстоятельства.

Во-первых, как расчет, так и эксперимент показывают существование областей нормальной дисперсии, для которых и области аномальной дисперсии для которой . Расчетная зависимость n²() неплохо совпадает с экспериментальной.

Во-вторых, собственных частот колебаний электронов в атомах среды может быть несколько. В этом случае при измерениях должен наблюдаться ряд областей аномальной дисперсии и, соответственно, областей заметных потерь мощности волны. В пределах каждой из этих областей действуют все описанные выше процессы и используются те же физические представления, а выражение для n² приобретает просто более сложный вид:

В третьих, в области аномальной дисперсии значение n может принимать неожиданные значения. В частности n = c/ <1. То есть скорость распространения волны в среде в области аномальной дисперсии формально может превышать скорость света. В действительности величина n характеризует скорость фазовую, но не групповую. А именно групповая скорость не может превышать величину с, ограничивающую скорость распространения материальных объектов (в том числе импульс света, несущий энергию) в соответствии с теорией относительности.

Еще более неожиданный результат получается при рассмотрении электромагнитной волны в средах, содержащих свободные электроны, например в разреженной плазме. Для этих электронов ₀  0! Тогда оказывается, что в некотором диапазоне частот n²<0, то есть показатель преломления есть мнимая величина. Этот курьезный результат означает, что волны соответствующих частот в плазме распространяться не могут и волна, падающая на плазму, полностью от нее отражается. Аналогичным образом отражается свет от металла, также содержащего свободные электроны. Этот факт до такой степени уникален, что позволяет определять концентрацию свободных электронов в плазме по пороговому значению частоты отраженной волны.