Энергия упругой волны

Пусть в среде, в которой распространяется плоская продольная волна, существует элементарный объем V, настолько малый, что деформации и скорости движения во всех точках этого объема одинаковы и равны, соответственно, и .

Этот объем обладает потенциальной энергией упругой деформации аналогичной энергии упругой пружины kx²/2, но с учётом протяжённости среды:

где – относительное удлинение, а Е – модуль Юнга.

В соответствии с (81.6) модуль Юнга Е равен  ² ( – плотность среды,  – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема V примет вид

(82.1)

Рассматриваемый объем будет также обладать кинетической энергией

(82.2)

(V– масса объема, – его скорость). Выражения (82.1) и (82.2) в сумме дают полную энергию

Отношение энергии Е к объему V, в котором она содержится, даёт плотность энергии

(82.3)

Из уравнения плоской волны получается:

что после подстановки этих выражений в формулу (82.3) даёт:

(82.4)

В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.

Как следует из (82.4), в некоторой точке х плотность энергии пропорциональна квадрату синуса. Так как среднее значение квадрата синуса равно ½, среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке среды равно

(82.5)

Плотность энергии (82.4) и ее среднее значение (82.5) пропорциональны плотности среды , квадрату частоты  и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для плоской волны с постоянной амплитудой, но и для других видов волн.

То есть, среда, в которой возникает волна, обладает дополнительным запасом энергии. Более того, распространение волны соответствует переносу ей энергии. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф через поверхность. Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Ф можно измерять в эрг/сек, ваттах и т. д.

Поток энергии в разных точках среды может обладать различной интенсивностью. Поэтому распространение энергии в разных точках пространства характеризуется также векторной величиной, называемой плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку S_, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время t энергия E. Тогда плотность потока энергии j по определению равна

Учитывая, что есть поток энергии Ф через поверхность S_, можно написать

Через площадку S_ (рисунок) за время t переносится энергия Е, заключенная в объеме цилиндра с основанием S_ и высотой t ( – скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости S_ и t) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то Е можно найти как произведение плотности энергии и на объем цилиндра, равный S_ t:

Подстановка этого выражение в формулу (82.6) позволяет получить:

(82.8)

Поскольку скорость  есть вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, можно написать:

(82.9)

Вектор плотности потока энергии, был впервые введен в рассмотрение русским физиком Н. А. Умовым и называется его именем.

Вектор Умова, как и плотность энергии u, есть функция координат, а в данной точке пространства изменяется со временем (квадрат синуса). Среднее значение его с учетом (82.5) равно

(82.10)

Зная j в некоторой точке пространства, можно найти поток энергии через помещенную в эту точку любым образом ориентированную малую площадку S (рисунок). Достаточно спроектировать S на плоскость, перпендикулярную к вектору j. Величина проекции S_ будет, очевидно, равна

(82.11)

где  – угол, образованный нормалью n к S и вектором j.

Вследствие малости S можно считать, что через S течет такой же поток, как и через S_. Поток же через S_ в соответствии с (82.7) равен

Заменяя S_ его значением (82.11), получаем:

Но j cos есть не что иное, как величина составляющей вектора j по направлению нормали n к площадке S:

j_n = j cos.

Следовательно,

(82.12)

То есть поток энергии через малую площадку S равен произведению нормальной составляющей вектора плотности потока энергии на S.

Зная j в любой точке произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии Ф через эту поверхность. Для этого поверхность разбивается на элементарные участки S, столь малые, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а вектор j в пределах каждого S можно было считать постоянным как по величине, так и по направлению. Тогда элементарный поток Ф через каждый участок S можно вычислить по формуле (82.12). При этом для каждой S существует свое значение j_n, которое зависит от величины вектора j в том месте, где расположена площадка S, и от ориентации этой площадки по отношению к j.

Полный поток через поверхность S равен сумме элементарных потоков:

(82.13)

Точное значение Ф получается при S  0. При этом сумма (82.13) перейдет в интеграл

(82.14)

который должен быть взят по всей поверхности S. Формула (82.14) дает связь между плотностью потока энергии в различных точках поверхности и потоком энергии через эту поверхность.

Расчёт потока энергии через волновую поверхность сферической волны в отсутствии потерь мощности колебаний в среде должен дать уже рассмотренный выше результат. Нормальная составляющая вектора плотности потока энергии во всех точках сферической волновой поверхности одинакова и имеет среднее значение

(а_r – амплитуда волны на расстоянии r от источника).

Среднее значение плотности потока энергии есть постоянная величина. Поэтому в (82.14) значение выносится за знак интеграла. В результате получается:

То есть средний поток энергии через сферу любого радиуса определяется только постоянными величинами:

Отсюда следует, что амплитуда сферической волны а обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны. Полученный результат говорит об адекватности использованных представлений.

Амплитуда плоской волны может быть постоянной лишь при условии, что энергия волны не поглощается средой. В противном случае интенсивность волны с удалением от источника постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны по экспоненциальному закону. Тогда амплитуда волны убывает с расстоянием х по закону . При этом уравнение плоской волны имеет вид:

(82.15)

Величина  называется коэффициентом затухания волны (или коэффициентом поглощения волны). Она имеет размерность, обратную размерности длины. Понятно, что величина обратная , равна расстоянию, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз.

В соответствии с (82.10) интенсивность волны (82.15) убывает с расстоянием х по закону

(82.16)

Аналогично уравнение сферической волны в поглощающей среде имеет вид:

(82.17)

Если быть вполне точным, термин “потери при распространении” относится к изменению энергии волны. В этом смысле можно проиллюстрировать изменение интенсивности плоской волны следующим образом. Потери - j (уменьшение мощности) тем больше, чем больше путь x, пройденный волной вдоль x в среде, а также чем больше абсолютная мощность волны j, дошедшей до этой точки:

С учетом коэффициента затухания волны  можно записать уравнение затухания в дифференциалах и затем его решить:

Константа интегрирования определяется из граничного условия:

Тогда затухание плоской волны будет описываться выражением (82.16):