Стоячие волны

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают стоячую волну.

Уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях имеют вид:

Суммирование этих уравнений с использованием формулы для суммы косинусов даёт:

Заменив волновое число k его значением 2/, выражению для  можно придать следующий вид:

(84.1)

Это и есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда оказывается зависящей от х:

В точках, где

(84.2)

амплитуда колебаний достигает максимального значения 2а. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из условия (84.2) получаются значения координат пучностей:

(84.3)

В точках, где

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следующие значения:

(84.4)

Из формул (84.3) и (84.4) следует, что расстояние между соседними пучностями, как и расстояние между соседними узлами, равно /2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Из уравнения (84.1) видно, что множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. То есть фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на , точки колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одной и той же фазе).

Дифференцирование уравнения (84.1) по х и t, даёт закон, по которому изменяется деформация среды  и и скорость частиц :

(84.5)

(84.6)

Уравнение (84.5) описывает стоячую волну деформации, а (84.6) – стоячую волну скорости. Из вида этих уравнений следует, что в то время как  достигает максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот. Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Эффект Доплера

Устройство, воспринимающее колебания среды на некотором расстоянии от источника, называется приемником. Если источник и приемник волн неподвижны относительно среды, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, равна частоте v₀ колебаний источника. Если же источник или приемник, либо оба они, движутся относительно среды, то частота v, воспринимаемая приемником, может оказаться отличной от v₀. Это явление называется эффектом Доплера.

Пусть для простоты приемник и источник движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость источника _ист > 0, если источник движется по направлению к приемнику, и _ист < 0, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемника _np> 0, если приемник приближается к источнику, и _np> 0, если приемник удаляется от источника.

Если источник неподвижен и колеблется с частотой v₀, то к моменту, когда источник будет завершать v₀-e колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь  ( – скорость распространения волны относительно среды). Следовательно, порождаемые источником за секунду v₀ «гребней» и «впадин» волны расположатся на длине . Если же источник движется относительно среды со скоростью _ист, то в момент, когда источник будет завершать v₀-e колебание, «гребень», порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии  – _ист (верхний рисунок). Следовательно, v₀ «гребней» и «впадин» волны уложатся на длине  – _ист, так что длина волны будет равна

Рис 207.

Рис. 208.

(86.1)

Мимо неподвижного приемника пройдут за секунду «гребни» и «впадины», укладывающиеся на длине v.

Если приемник движется со скоростью _np, то в конце секундного промежутка времени он будет воспринимать «впадину», которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на v. Таким образом, приемник воспримет за секунду колебания, отвечающие «гребням» и «впадинам», укладывающимся на длине  + _np (рис. 208), и будет колебаться с частотой

(86.2)

Объединив выражения (86.2) и (86.1), получим:

(86.3)

Согласно формуле (86.3) при таком движении приемника и источника, что расстояние между ними сокращается, воспринимаемая приемником частота v оказывается больше частоты источника v₀. Если расстояние между источником и приемником растет, v будет меньше, чем v₀. Когда направление движения источника и приемника не совпадает с направлением соединяющей их прямой, в формуле (86.3) под _ист и _np следует понимать проекции скоростей источника и приемника на направление указанной прямой.