- •Уравнения плоской и сферической волн
- •Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
- •Волновое уравнение
- •Энергия упругой волны
- •Интерференция и дифракция волн
- •Стоячие волны
- •Эффект Доплера
- •Теория электромагнитного поля.
- •Уравнения Максвелла
- •Плоская электромагнитная волна
- •Экспериментальная проверка теории Максвелла.
- •§ 4. Измерения скорости света
- •Энергия электромагнитного поля
- •§ 44. Групповая скорость
- •Импульс электромагнитного поля
- •Излучение диполя
- •Элементарная теория дисперсии.
- •Распространение света в средах.
- •Преломление эмв на границе двух сред и полное внутреннее отражение.
- •Волна на границе двух сред.
- •Опыт Юнга.
- •Способы наблюдения интерференции света
- •Интерференция света при отражении от тонких пластинок.
- •Применения интерференции света
- •Интерферометр Майкельсона.
- •Интерферометр Фабри– Перо.
- •Интерферометр Жамена
- •Дифракция. Принцип Гюйгенса – Френеля в оптике.
- •Дифракция Френеля.
- •Дифракция плоской волны на щели.
- •Поляризационные приборы. Закон Малюса.
Уравнения Максвелла
Теория Максвелла объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.
Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.
Первое из уравнений Максвелла связывает значения Е с изменениями вектора В во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции.
Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность).
(108.1)
(108.2)
Третье уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Четвертое показывает, что линии вектора D могут начинаться и оканчиваться на зарядах:
(108.3)
(108.4)
(j здесь и в дальнейшем – плотность тока проводимости).
Перейти к уравнениям в дифференциальной форме можно с помощью сформулированных выше теорем Стокса и Остроградского – Гаусса.
Теорема Стокса [см. (107.14) ] применима к первому уравнению Максвелла. Поверхности интегрирования в правой и левой части одни и те же. Тогда уравнение (108.1) примет вид
Поскольку поверхности справа и слева едины можно написать:
Так как поверхность S произвольна, равенство возможно лишь в случае равенства нулю подынтегрального выражения в любой точке пространства для произвольно ориентированной площадки dS. Тогда в каждой точке пространства
Применение теоремы Стокса к формуле (108.3) и повторение тех же рассуждений, показывает, что
Можно применить теорему Остроградского – Гаусса [см. (107.5) ] к левой части формулы (108.4):
При произвольном выборе объема V, равенство выполняется, когда подынтегральные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е,
div D = .
Применение теоремы Остроградского – Гаусса к формуле (108.2) дает
div В =0.
Итак, в дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят следующим образом:
(108.5)
(108.6)
(первая пара уравнений),
(108.7)
(108.8)
(вторая пара уравнений).
При решении этих уравнений используются также соотношения:
(108.9)
(108.10)
(108.11)
Совокупность семи уравнений (108.5) – (108.11) образует основу электродинамики покоящихся сред.
Третий семестр.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Волновое уравнение
Переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью зарядов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Тот же процесс получится и при возбуждении поля переменными токами, создающими магнитное поле. Этот процесс может быть периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представлять собой волну. Доказательство возможности существования электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.
Напишем уравнения Максвелла для однородной нейтральной ( = 0) непроводящей (j = 0) среды с постоянными проницаемостями и . В этом случае
Следовательно, уравнения (108.5) – (108.8) имеют вид
(109.1)
(109.2)
(109.3)
(109.4)
Применим к уравнению (109.1) операцию rot
(109.5)
По сути rot есть дифференцирование по координатам. Меняя порядок дифференцирования по координатам и времени, можно написать
Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (!09.3) для rot H, получим
(109.6)
Применив операцию rot к уравнению (109.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению
(109.7)
В соответствии с (107.22) rot rot E = grad div E – ∆Е. При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде –∆Е. Опустив в получающейся формуле знак минус слева и справа, придем к уравнению
или, расписав ∆Е,
(109.8)
Сходным образом уравнение (109.7) можно преобразовать к виду
(109.9)
Заметим, что уравнения (109.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (109.1) и (109.3), каждое из которых содержит и Е и Н.
Уравнения полученного вида представляют собой волновые уравнения. Корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной по времени, дает фазовую скорость этой волны:
(109.10)
Для вакуума по этой формуле получается
То есть, в вакууме фазовая скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света.