- •Уравнения плоской и сферической волн
- •Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
- •Волновое уравнение
- •Энергия упругой волны
- •Интерференция и дифракция волн
- •Стоячие волны
- •Эффект Доплера
- •Теория электромагнитного поля.
- •Уравнения Максвелла
- •Плоская электромагнитная волна
- •Экспериментальная проверка теории Максвелла.
- •§ 4. Измерения скорости света
- •Энергия электромагнитного поля
- •§ 44. Групповая скорость
- •Импульс электромагнитного поля
- •Излучение диполя
- •Элементарная теория дисперсии.
- •Распространение света в средах.
- •Преломление эмв на границе двух сред и полное внутреннее отражение.
- •Волна на границе двух сред.
- •Опыт Юнга.
- •Способы наблюдения интерференции света
- •Интерференция света при отражении от тонких пластинок.
- •Применения интерференции света
- •Интерферометр Майкельсона.
- •Интерферометр Фабри– Перо.
- •Интерферометр Жамена
- •Дифракция. Принцип Гюйгенса – Френеля в оптике.
- •Дифракция Френеля.
- •Дифракция плоской волны на щели.
- •Поляризационные приборы. Закон Малюса.
Дифракция. Принцип Гюйгенса – Френеля в оптике.
Интерференция есть перераспределение интенсивности волн в пространстве, наблюдаемое на некоторой поверхности. Дифракция, формально, есть явление огибания волной препятствий. Наблюдаемое проявление дифракции – интерференция разных пространственных масштабов. Объяснение этих явлений едино: принцип Гюйгенса – Френеля.
Исходно Гюйгенс предложил рассматривать процесс распространения света как совокупность сферических волн, создаваемых каждой точкой волнового фронта. Новый волновой фронт в данный момент времени рассматривается как огибающая этих сферических
|
Распространение сферической волны от источника S в точку Р изображено на рисунке. Здесь источник света окружён сферой радиуса а и на этой поверхности выделен участок d. По Френелю электрическое поле, создается в точке Р в результате интерференции волн, приходящих от источников d. Интенсивность волн зависит от величины d, расположения нормали к поверхности d и угла . Френель ввел в рассмотрение величину k(), имеющую максимальное значение при = 0. Максимум величины k соответствует совпадению направления нормали и линии SP. При /2 k = 0, то есть волна распространяется только “вперед” от источника.
Амплитуду колебаний поля, созданного в точке Р сферической волной, исходящей из элемента поверхности d, можно определить таким образом:
Результирующее поле в точке Р определяется принципом суперпозиции:
Это выражение есть математическое представление принципа Гюйгенса – Френеля.
Различают два вида дифракции:
дифракция в параллельных лучах (дифракция дальнего поля) – дифракция Фраунгофера
дифракция ближнего поля или дифракция Френеля.
Дифракция Френеля.
Практически очевидно, что расчеты с использованием формулы Гюйгенса – Френеля в общем случае весьма сложны. Можно отметить, что из теории дифракции появился ряд нестандартных интегралов, вычисление которых отнесено в курс математики. Упрощение нахождения результирующей амплитуды связано с появлением какой-либо симметрии.
Например, можно рассмотреть и стандартно рассматривается определение амплитуды сферической волны, проходящей через круглое отверстие. Для начала можно принять, что диаметр отверстия очень велик, поэтому на рисунке оно не обозначено. Пусть источник S
|
Поскольку энергия, излучаемая единицей площади каждой зоны одинакова, амплитуда волны, излучаемой каждой зоной, должна быть пропорциональна её площади. Площадь зоны m равна разности площадей, ограниченных сферическими сегментами m и m-1.
|
Из второго равенства следует
При достаточно малых m второе слагаемое гораздо меньше первого и учитываться не будет. Площадь сферического сегмента, отмеченного на рисунке, равна , откуда с учётом предыдущего выражения получается:
,
кроме того,
, (*)
где принято, что a>>hm. Таким образом, с указанной точностью площади всех зон равны!
Однако следует помнить, что волна сферическая (Е 1/r), следовательно, её амплитуда падает по мере роста m, так как bm = b+m/2. То есть E1E2E3…. Суммарная амплитуда равна
Здесь учтена противофазность колебаний в точке Р, излучённых соседними зонами, а также малость различия амплитуд их колебаний. Последнее обеспечивает практически нулевое значение выражений в скобках.
Таким образом, если отверстие велико, преграды практически нет и вся волновая поверхность открыта, то интенсивность в точке Р равна
то есть в 4 раза меньше интенсивности при одной первой открытой зоне Френеля.
Изящную интерпретацию проведённого расчёта можно получить в виде так называемой спирали Френеля. Для её построения в полярных координатах, начиная от горизонтальной оси, в виде радиусов откладываются модули векторов от соседних точек волновой поверхности. Угловая координата равна разности фаз волны, дошедшей до точки Р от соответствующей нецентральной точки волновой поверхности и волны, пришедшей из центра волновой поверхности.
|
Теперь можно сравнительно просто проанализировать собственно дифракцию на круглом отверстии.
|
,
отверстие будет заполнено числом зон Френеля равным m. В зависимости от этого числа при достаточно малых m интенсивность света в точке Р будет равна 4I0 или 0. В случае нецелого
|
Метод спирали Френеля обеспечивает определение интенсивности света только в точке Р.
С его же помощью можно рассмотреть эффект, выступивший как один из решающих доводов в пользу теории волновой оптики. Речь идёт о пятне Пуассона. Предположение об его существовании было высказано при рассмотрении дифракции на круглом диске и проверено опытом Араго.
Если на пути сферической волны поставить круглый диск без каких-либо дополнительных препятствий, то по логике, приведённой выше и подкреплённой анализом с использованием представлений о зонах Френеля (см. ниже), в точке Р должно наблюдаться светлое пятно вне зависимости от числа закрываемых зон.
При радиусе диска rm результирующая амплитуда волны равна:
|
Между тем, корпускулярная теория прекрасно объясняет результаты геометрической оптики. Следовательно, для того, чтобы волновая теория приобрела бы статус универсальной теории света необходимо определить критерий перехода от волновой оптики к оптике геометрической. Он определяется достаточно просто: необходимо сравнить размер препятствия с размером радиуса или диаметра зоны Френеля. В этом смысле величиной, выполняющей роль критерия получения разного рода дифракций или перехода от волновой оптики к геометрической становится число зон Френеля, заполняющих отверстие. При этом экспериментальная проверка возможна при работе только с точечным источником, то есть при достаточно большом расстоянии до источника: а>>b.
1. При сопоставимости размера первой зоны Френеля с диаметром отверстия (m 1) должна наблюдаться дифракция Френеля. Тогда . Можно обратить внимание на малость величины b, необходимую для наблюдения именно френелевской дифракции. Она объясняет и другое её название – дифракция ближнего поля.
2. Переход от волновой оптики к геометрической должен возникнуть при отсутствии условия наблюдения дифракции, то есть при очень большом числе зон Френеля (m >> 1), когда интерференционная картина становится неразличимой. Тогда .
3. При большом значении величины b наблюдается дифракция дальнего поля, отличающаяся тем, что в точке Р наблюдается только максимум интенсивности. Это происходит из-за того, что , то есть размер отверстия гораздо меньше радиуса первой зоны. Дифракцию дальнего поля называют чаще дифракцией Фраунгофера. Следует отметить, что при больших величинах a и b говорить о сферической волне не приходится – волновой фронт становится практически плоским.