17.5.3. Изменение фазы по квадратичному закону (линейная частотная модуляция – лчм)

Соответствующая этому изменению фазы пилообразная модуляция частоты изображена на рис. 17.19, б, на котором через_добозначена амплитуда отклонения мгновенной частоты от средней частоты₀, а через 2_д– полный размах частоты за один период модуляции.

Рис.17.19. Изменение фазы по квадратичному закону (ЛЧМ)

Такой закон изменения частоты часто применяется в различных радиотехнических системах и измерительных устройствах.

Для отыскания спектра непрерывного колебания, частота которого изменяется по периодическому закону, показанному на рис. 17.19, б, можно поступить следующим образом.

Прежде всего можно найти спектральную плотность S() колебания, соответствующий одному периоду изменения частоты рис. 17.20. Используя затем связь между спектрами периодического и непериодического сигналов, можно найти дискретный спектр сигнала при периодической пилообразной модуляции. Преимуществом такого способа анализа является большая наглядность структуры сплошного спектра – амплитудного и фазового – по сравнению с дискретным спектром.

Рис.17.20.

При обозначениях рис. 17.20, б можно представить мгновенную частоту заполнения импульса следующим образом:

,

где

скорость изменения (линейного) частоты внутри импульса, длительность которого равна Т. При этом мгновенное значение колебания в интервале отдорис. 1.20,а определяется выражением:

.

Спектральная плотность такого радиоимпульса равна

Второе слагаемое представляет собой интеграл РТ быстро осциллирующей функции. Такую составляющую можно не учитывать. В первом же слагаемом показатель степени в подынтегральной функции можно дополнить до квадрата разности (считается положительной величиной):

.

где обозначено

.

Подставляя в и переходя к новой переменной

,

можно получить

,

где

Произведение есть полная девиация частоты (угловой) внутри импульса, аТ²=2_дТпредставляет собой безразмерный параметр, имеющий смысл индекса фазовой модуляции. В данном случае частотную модуляцию удобно характеризовать с помощью произведения полной девиаций, выраженной в герцах, на длительность импульса. Обозначим этот параметр черезB

тогда можно записать как:

В этих обозначениях выражение для S() принимает следующий вид:

где

Из следует, что модуль спектральной плотности рассматриваемого сигнала равен

,

а фазовая характеристика спектра –

График зависимости нормированной спектральной плотности от расстройки относительно средней частоты спектрапредставлен на рис. 17.21.

Рис. 17.21. Спектр ЛЧМ сигнала для В=100

Анализ показывает, что при больших значениях В (порядка ста и больше) формаS() приближается к прямоугольной, а ширина спектра – к величине 2_д. Фазовая характеристика при этом принимает вид квадратичной параболы. Второе слагаемое в , стремящееся к постоянной величине, опущено. При=₀,, аu₂=-u₁.

При больших B, т.е. при | u₁|=|u₂|>>1,С(и₁) –С(и₂)=1 иS(и₁) –S(и₂)=1. Таким образом, квадратный корень в обращается ви.

В случае отрицательного (т. е. при убывании частоты внутри импульса) выражение остается прежним, а в знаки должны быть изменены на обратные. Наконец, при отсчете времени от начала импульса спектральная плотность рассматриваемого сигнала, сдвинутого нав сторону опережения, должна быть представлена в форме

,

где S() и() определяются соответственно выражениями и .

Соотношения , и определяют спектральную плотность одиночного импульса с линейным изменением частоты заполнения. Для построения дискретного спектра колебания с пилообразной частотной модуляцией (рис 1.19, б) остается нанести на рис. 1.21 спектральные линии, разделенные частотным интервалом, а также изменить масштаб по оси ординат враз.

Приведенных примеров достаточно для уяснения методики нахождения спектров колебания при любых законах периодической модуляции фазы или частоты, а также при некоторых непериодических модулирующих сигналах.

В более общих случаях, например при модуляции частоты или фазы случайными процессами, нахождение спектра эффективнее осуществлять по автокорреляционной функции модулированного колебания.