20.4. Характеристики сигнала и помех после согласованного фильтра

Выходной сигнал фильтра воспроизводит во времени автокорреляционную функцию согласованного с ним сигнала, причем так, что максимум достигается в момент t=Т. Действительно, отклик оптимального фильтра на сигнал, с которым этот фильтр согласован, может быть найден с помощью интеграла Дюамеля:

Этот вывод важен для практики практического осуществления согласованных фильтров. Действительно, как следует из , операции, производимые над сигналом согласованным фильтром, могут быть выполнены и коррелятором. Такой коррелятор должен обрабатывать сигнал вместе с опорным колебанием, которое представляет собой копию ожидаемого принимаемого сигнала. Согласованные фильтры применяют для относительно простых сигналов. Коррелятор оказывается удобнее для сигналов сложных.

20.5. Примеры согласованных фильтров

1. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса.Пусть импульс появляется момент времениt=0, имеет амплитудуаи длительность_и(рис. 20.2), т. е.

Спектр такого сигнала

.

Полагая T=_и, по находится комплексная частотная характеристика согласованного фильтра

.

Одна из возможных функциональных схем согласованного фильтра представлена на рис. 20.2 а).

Рис. 20.2. Функциональная схема фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом

Фильтр состоит из идеального усилителя с коэффициентом усиления k, интегратора, линии задержки на время_ии вычитающего устройства. Напряжение с выхода интегратора подается на вычитающее устройство по двум каналам: непосредственно и через линию задержки. На рис. 20.2б) показан характер напряжений на выходе отдельных элементов схемы. На выходе вычитающего устройства получается треугольный импульс высотойkEи длительностью 2_и:

2. Согласованный фильтр для двух прямоугольных видеоимпульсов. Пусть сигналs(t) всюду равен нулю, за исключением двух временных инуервалов₁и₂(рис. 20.32), т. е.

Спектр такого сигнала определяется выражением

.

При t₀=₁+₂+T частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид

.

Возможный вариант схемы фильтра, согласованного с парой прямоугольных импульсов, приведен на рис.20.3 а), а отклик этого фильтра – на рис. 20.3б).

Рис. 20.3. Фильтр, согласованный с парой прямоугольных импульсов

Отклик такого фильтра на согласованный с ним входной сигнал будет

.

3. Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса. Прямоугольный радиоимпульс имеет видs(t)=acos₀t при 0t_и. Его спектр

.

По формуле при Т=_инаходится передаточная функция согласованного фильтра

.

Предположим, что импульс содержит целое число периодов несущей частоты. При этом

.

Такую передаточную функцию можно получить, используя схему рис. 20.4 а), отклик которой на радиоимпульс изображен на рис. 20.4б).

Рис. 20.4. Фильтр, согласованный с радиоимпульсом

Первый сомножитель реализуется линией задержки на _ии вычитающим устройством, а второй сомножительсоответствует передаточной функции идеального колебательного контура с очень малым затуханием и резонансной частотой₀.

4. Согласованный фильтр для ФМ радиоимпульсов. Пусть высокочастотный сигнал, заполняющий радиоимпульс с прямоугольной огибающей, модулирован по фазе псевдослучайной последовательностью Баркера 1110010 рис. 20.5а). Используя можно установить, что импульсная характеристика такого фильтра будет иметь вид рис. 20.5б). Такую характеристику позволяет получить устройство, представленное на рис. 20.5в). Оно состоит из широкополосной линии задержки с семью равноотстоящими отводами через интервал временной задержки, общего сумматора, к которому часть отводов подключена через инверсные каскады, а остальные – непосредственно, и линейного фильтра, согласованного с элементарным прямоугольным радиоимпульсом длительностьюрис. 20.4.

Рис. 20.5. Согласованный фильтр для ФМ радиоимпульса

Работа схемы поясняется рис. 20.6, на котором показаны этапы формирования отклика фильтра s_вых(t). На рис. 20.6а) схематически изображены сдвинутые во времени (с учетом наличия инверсных каскадов) радиоимпульсы на входе сумматора. Результат их суммирования представлен на рис. 1.18,б), а огибающая результирующего сигналаs_вых(t) на выходе согласованного фильтра – на рис. 1.18,в).

Рис. 20.6. Формирование отклика согласованного фильтра

61

5. Согласованный фильтр для пачки радиоимпульсов. Аналитическая модель сигнала, представляющего собой периодическую последовательность (на профессиональном языке – "пачку")nодинаковых импульсов с когерентным высокочастотным заполнением выражается суммой

,

где s₁(t) – функция, описывающая каждый одиночный импульс пачки, имеющий длительность_иТ₀и энергиюЕ₁;Т₀– период повторения импульсов.

Спектр такого сигнала, разумеется, связан с формой спектра одиночного импульса в пачке

где – спектр одиночного (конкретно – первого по счету) импульса пачки.

Полагая длительность пачки равной длительности сигнала Т=nТ₀, и используя можно по спектру пачки импульсов найти комплексную частотную характеристику согласованного фильтра, согласованного с этой пачкой

,

.

Первый сомножитель в K₁(i) – это частотная характеристика фильтра, согласованного с одиночным радиоимпульсом пачки. Частотная характеристикаK₁(i) может быть сформирована за счет суммирования сигналов с отводов линии задержки. Общее время задержки в такой линии на один периодT₀меньше длительности пачки (n-1)T₀.Сумма комплексных экспонент в вычисляется как сумма геометрической прогрессии.

Функциональная схема фильтра, выполненного в соответствии с , и согласованного с пачкой импульсов представлена на рис. 20.7.

Рис. 20.7. Согласованный фильтр для пачки когерентных радиоимпульсов

На практике бывает трудно создать линию задержки на время, равное длительности пачке, особенно, если эта длительность весьма велика. Поэтому используют линию задержки на один период повторения Т₀и организуют обратную связь с выхода на вход, как на рис. 20.8,а). При такой схеме обеспечивается многократное использование одной и той же линии задержки. Такие устройства называют рециркуляторами. Амплитудно-частотная характеристика рециркулятора иллюстрируется на рис. 20.8,б).

Рис. 20.8. Рециркулятор и его амплитудно-частотная характеристика

Нетрудно показать, что импульсная характеристика рециркулятора и соответствующая ей комплексная частотная характеристика имеют вид

.

Амплитудно-частотная характеристика рециркулятора является периодической функцией частоты и имеет вид гребенки рис. 20.8, б) с максимумами на частотах,m=0,1,2,.... Поэтому рециркуляторы называют также гребенчатыми фильтрами, Разумеется, такие фильтры можно получить и при помощи надлежащим образом настроенных колебательных контуров.

Наибольшее отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра для пачки когерентных радиоимпульсов определяется отношением энергии сигнала E=nE₁.