20.2. Передаточная функция согласованного линейного фильтра

Пусть на вход некоторого стационарного линейного фильтра действует сумма сигнала s(t) известной заранее формы со спектральной плотностьюS() и стационарного случайного шумаn(t) с энергетическим спектромN()=N₀=const:

.

Задача синтеза заключается в том, чтобы найти комплексный коэффициент передачи K(i) фильтра, на выходе которого соотношение сигнал/шум будет максимально. Если на входе такого фильтра действует полезный сигналs(t), то процесс на выходе фильтраs_в(t) будет иметь спектр

и описываться функцией

.

Энергетический спектр помехи на выходе такого фильтра будет , а мощность (дисперсия) составит

.

На основании и можно определить соотношение мощностей сигнала и помехи на выходе фильтра

.

Теперь оптимизация сводится к решению вариационной задачи нахождения такой передаточной функции фильтра K(i), которая максимизирует приt=T. Но можно для решения задачи воспользоваться неравенством Коши-Буняковского.

Неравенство Коши-Буняковского устанавливает, что две произвольные, в общем комплекснозначные функции f(x) иg(x), то справедливо соотношение

,

причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда f(x) иg(x) линейно связаны

.

В f*(x) означает функцию, комплексно сопряженную сf(x).

Полагая

и,

Можно установить, что

.

Но, согласно , максимум правой части неравенства достигается при условии

,

откуда

,

где с– некоторый постоянный коэффициент,Т– момент времени, соответствующий наибольшему отношению пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению помехи.

Для шумовой помехи с равномерной в полосе спектра сигнала спектральной плотности N()=N₀, из и следует, что

,

,

где k– некоторая постоянная, характеризующая усиление сигнала в фильтре,Е– энергия сигнала

.

Представляя спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде произведения модуля и фазового множителя

,

а учитывая можно заключить, что

,

т. е., что амплитудно-частотная характеристика фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум, пропорциональна амплитудному спектру сигнала, а фазо-частотная – симметрична фазовому спектру сигнала с учетом задержки (-T). В этом смысле частотная характеристика согласована со спектром сигнала, а сам фильтр называется согласованным.

Можно объяснить физический смысл условия . При его выполнении фильтр пропускает на выход спектральные составляющие сигнала с коэффициентом передачи, пропорциональным их величине S(). Благодаря этому на форму выходного напряжения фильтра при действии сигнала влияют, в основном, составляющие бльшего уровня, менее искаженные шумами, в то время как более составляющие искаженные ослабляются.

Вторая причина обусловлена фазовой характеристикой согласованного фильтра. Она такова, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала _s() компенсируются и все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в моментt=Tокончания действия сигнала на входе.

20.3. Импульсная характеристика и физическая осуществимость согласованного линейного фильтра

Сопряженность спектра сигнала и частотной характеристики согласованного с ним фильтра указывает на однозначную связь между формой этого сигнала и импульсной характеристикой _opt(t) этого фильтра. Импульсная характеристика согласованного, обладающего АЧХ вида фильтра определяется известным соотношением

Учитывая, что входной сигнал и его спектр связаны обратным преобразованием Фурье

,

можно заключить, что

.

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала (т. е. согласована с сигналом). Это утверждение иллюстрируется графиком рис. 20.1, где изображена осциллограмма импульсного сигнала s(t) длительностью, начинающийся в момент₀.

Рис. 20.1. Сигнал s(t) и импульсная характеристикаh(t) согласованного фильтра

Функция s(T+t) появляется на времяТраньше, чем сигналs(t). А функцияs(T-t) зеркально симметрична ей относительно оси ординат. Именноs(T-t), умноженная на коэффициентk(на рис. 20.1.k=1) дает импульсную характеристику согласованного фильтра.

Оптимальный фильтр должен быть физически осуществимым. Это значит, во-первых, что его импульсная характеристика, представляющая реакцию на единичный импульс в момент t=0, не может быть отличной от нуля приt<0 (следствие не может наступить раньше вызвавшей его причины).

Во-вторых, фильтр, формируя отклик на сигнал, может собрать всю его энергию только тогда, когда обеспечит время задержки не меньше длительности энергию этого сигнала.

Кроме того, в-третьих, для физической реализуемости фильтра необходимо, чтобы его импульсная характеристика полностью затухала при t.

Объединяя все три условия можно записать, что импульсная характеристика согласованного фильтра, максимизирующего соотношение сигнал/шум, должна удовлетворять условиям