17.5.Спектры колебаний при сложной угловой модуляции

Для уяснения метода нахождения спектра пря несинусоидальной угловой модуляции можно рассмотреть некоторые важные для практики примеры сложной периодической модуляции фазы.

17.5.1. Фазовая манипуляция(прямоугольное изменение фазы)

Скачкообразное изменение фазы используется в системах, работающих с фазоманипулированным сигналом. Примерами могут служить радиолокационные системы с внутриимпульсной модуляцией, некоторые радионавигационные цифровые системы, системы передачи данных.

При обозначениях рис. 17.14, а изменение фазы внутри одного периода модуляции определяется следующими условиями:

Рис. 17.14. Фазовая манипуляция

Изменение частоты колебания t, равное производной от(t), имеет вид рис 17.14б). Величинаtравна нулю на всей оси времени, кроме моментов, где(t) терпит разрыв. В этих точкахtобращается в бесконечность. Формально такое изменение частоты соответствует знакопеременной последовательности-функций, умноженных на постоянный коэффициент, который определяется из условия совпадения интеграла отtс законом изменения фазы. Так в момент времениt=0 это условие:

,

откуда

.

Таким образом, изменение частоты вблизи момента времени t=0 должно быть представлено в виде функции 2_max(t). В моменты временианалогичные функции должны быть записаны в видеи т. д.

Колебание с начальной фазой, изменяющейся в такт с меандровой модулирующей функцией может быть представлено суммой балансно-модулированных квадратурных колебаний

.

Первое слагаемое в правой части – это косинусоида с постоянной амплитудой, поскольку аcos(t)=аcos(_max)=а^.const(t). Второе – синусоида, балансно-модулированная прямоугольной волнойsin(t)=sin_max. Спектр этого колебания – дискретный, содержащий только нечетные гармоники частоты повторения меандровой модулирующей функции:

,

где

.

Поэтому окончательно

Для практики особый интерес представляет случай , когда скачок фазы равен. Манипулированное по фазе колебание при этом принимает вид, показанный на рис. 17.15.

Рис. 17.15. Манипуляция фазы на /2

Через каждые полпериода модулирующей функции происходит смена фазы сигнала на противоположную При этом cos_max=cos(/2)=0,sin_max=sin(/2)=1. Следовательно,

Амплитудный спектр такого колебания изображен на рис. 17.16.

Рис.17.16. Спектр колебания, манипулированного по фазе на /2

17.5.2. Треугольное изменение фазы (частотная манипуляция)

При обозначениях рис. 17.17 а изменение фазы внутри одного периода модуляции определяется соотношением

.

Изменение частоты колебания, показанное на рис. 1.17 б, равно:

Рис. 17.17. Треугольное изменение фазы и частотная манипуляция

Функция (t) четная, поэтому спектр функцийcos(t) иsin(t) выразятся через косинусные коэффициенты:

Водя обозначения

,

где – как и прежде, индекс модуляции, после вычисления интегралов в можно получить:

Таким образом,

Из видно, что спектр колебания состоит из большого числа боковых частот, амплитуды которых пропорциональны .

При 0 все слагаемые в , кроме первого, стремятся к нулю. Амплитуда первого слагаемого после раскрытия неопределенности обращается ва. Если – целое число, то один из коэффициентов вида(при=n) обращается в бесконечность, однако при учете множителяcos(/2) илиsin(/2) получается неопределенность, которая легко раскрывается. Как и в случае гармонической модуляции, при больших значениях амплитуды боковых частот максимальны для значенийп, близких к. При дальнейшем увеличении я амплитуды боковых частот быстро падают.

Спектр амплитуд частотно-манипулированного колебания при =4 изображен на рис. 17.18. На этом рисунке, а.

Рис.1.18. Спектр амплитуд частотно-манипулированного колебания при =4